Spectral condition, hitting times and Nash inequality

Löcherbach, Eva; Loukianov, Oleg; Loukianova, Dasha

Löcherbach, Eva ; Loukianov, Oleg ; Loukianova, Dasha

Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 50 (2014), p. 1213-1230 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Soit $X$ un processus de Hunt $μ$ -symétrique à valeurs dans un espace LCCB $𝙴$ . Pour un ouvert $𝙶 \subseteq 𝙴$ , soit $τ_{𝙶}$ le temps de sortie de $𝙶$ par $X$ et $A^{𝙶}$ le générateur du processus tué lorsqu’il quitte $𝙶$ . Soit $r : [0, \infty [\to [0, \infty [$ et $R (t) = \int_{0}^{t} r (s) d s$ . Nous établissons des conditions nécéssaires et suffisantes pour que $𝔼_{μ} R (τ_{𝙶}) < \infty$ . Ces conditions sont données en termes du comportement au voisinage de zéro de la mesure spectrale de $- A^{𝙶}$ Dans le cas ou $r (t) = t^{l}$ , $l \geq 0$ , en utilisant ces conditions, à partir de $𝔼_{μ} R (τ_{𝙶}) < \infty$ nous déduisons l’inégalité de Nash pour le processes tué. Dans le cas d’un processus de diffusion cela permet de montrer que l’existence des moments d’ordre $l + 1$ pour $τ_{𝙶}$ implique l’inégalité de Nash d’ordre $p = \frac{l + 2}{l + 1}$ pour le processus $X$ . La vitesse de convergence du semi-groupe dans $𝕃^{2} (μ)$ est donnée par $t^{- (l + 1)}$ . Finalement pour un processus de Hunt $μ$ -symétrique à valeurs dans un espace LCCB nous montrons que l’inégalité de Nash donnant lieu à la convergence du semi-groupe avec la vitesse $t^{- (l + 1)}$ implique l’existence des moments d’ordre $l + 1 - ε$ pour $τ_{𝙶}$ , pour tout $ε > 0$ .

Let $X$ be a $μ$ -symmetric Hunt process on a LCCB space $𝙴$ . For an open set $𝙶 \subseteq 𝙴$ , let $τ_{𝙶}$ be the exit time of $X$ from $𝙶$ and $A^{𝙶}$ be the generator of the process killed when it leaves $𝙶$ . Let $r : [0, \infty [\to [0, \infty [$ and $R (t) = \int_{0}^{t} r (s) d s$ . We give necessary and sufficient conditions for $𝔼_{μ} R (τ_{𝙶}) < \infty$ in terms of the behavior near the origin of the spectral measure of $- A^{𝙶}$ . When $r (t) = t^{l}$ , $l \geq 0$ , by means of this condition we derive the Nash inequality for the killed process. In the diffusion case this permits to show that the existence of moments of order $l + 1$ for $τ_{𝙶}$ implies the Nash inequality of order $p = \frac{l + 2}{l + 1}$ for the whole process. The associated rate of convergence of the semi-group in $𝕃^{2} (μ)$ is bounded by $t^{- (l + 1)}$ . Finally, we show for general Hunt processes that the Nash inequality giving rise to a convergence rate of order $t^{- (l + 1)}$ of the semi-group implies the existence of moments of order $l + 1 - ε$ for $τ_{𝙶}$ , for all $ε > 0$ .

Publié le : 2014-01-01

MR 3269992 | Zbl 06377552

DOI : https://doi.org/10.1214/13-AIHP560
Classification: 60J25, 60J35, 60J60

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Löcherbach, Eva; Loukianov, Oleg; Loukianova, Dasha. Spectral condition, hitting times and Nash inequality. Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 50 (2014) pp. 1213-1230. doi : 10.1214/13-AIHP560. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIHPB_2014__50_4_1213_0/

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