Zero Krengel entropy does not kill Poisson entropy
Janvresse, Élise ; de la Rue, Thierry
Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 48 (2012), p. 368-376 / Harvested from Numdam
Access to full text
Full (PDF)
Full (DJVU)

Nous prouvons que les notions d'entropie de Krengel et d'entropie de Poisson pour les transformations préservant une mesure infinie ne coïncident pas toujours : nous construisons une transformation conservative préservant une mesure infinie qui a une entropie de Krengel nulle (la transformation induite sur un ensemble de mesure 1 est l'odomètre de Von Neumann-Kakutani), mais dont la suspension de Poisson a une entropie strictement positive.

We prove that the notions of Krengel entropy and Poisson entropy for infinite-measure-preserving transformations do not always coincide: We construct a conservative infinite-measure-preserving transformation with zero Krengel entropy (the induced transformation on a set of measure 1 is the Von Neumann-Kakutani odometer), but whose associated Poisson suspension has positive entropy.

Publié le : 2012-01-01
DOI : https://doi.org/10.1214/10-AIHP393
Classification:  37A05,  37A35,  37A40,  28D20 
@article{AIHPB_2012__48_2_368_0,
     author = {Janvresse, \'Elise and de la Rue, Thierry},
     title = {Zero Krengel entropy does not kill Poisson entropy},
     journal = {Annales de l'I.H.P. Probabilit\'es et statistiques},
     volume = {48},
     year = {2012},
     pages = {368-376},
     doi = {10.1214/10-AIHP393},
     mrnumber = {2954259},
     zbl = {1269.37003},
     language = {en},
     url = {http://dml.mathdoc.fr/item/AIHPB_2012__48_2_368_0}
}

Janvresse, Élise; de la Rue, Thierry. Zero Krengel entropy does not kill Poisson entropy. Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 48 (2012) pp. 368-376. doi : 10.1214/10-AIHP393. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIHPB_2012__48_2_368_0/

[1] J. Aaronson and K. K. Park. Predictability, entropy and information of infinite transformations. Fund. Math. 206 (2009) 1-21. | MR 2576257 | Zbl 1187.37014

[2] P. Billingsley. Probability and Measure, 2nd edition. Wiley, New York, 1986. | MR 830424 | Zbl 0411.60001

[3] É. Janvresse, T. Meyerovitch, E. Roy and T. De La Rue. Poisson suspensions and entropy for infinite transformations. Trans. Amer. Math. Soc. 362 (2010) 3069-3094. | MR 2592946 | Zbl 1196.37015

[4] U. Krengel. Entropy of conservative transformations. Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 7 (1967) 161-181. | MR 218522 | Zbl 0183.19303

[5] U. Krengel. On certain analogous difficulties in the investigation of flows in a probability space and of transformations in an infinite measure space. In Functional Analysis (Proc. Sympos., Monterey, CA, 1969) 75-91. Academic Press, New York, 1969. | MR 265558 | Zbl 0268.28010

[6] D. S. Ornstein. Ergodic Theory, Randomness, and Dynamical Systems. Yale Univ. Press, New Haven, CT, 1974. | MR 447525 | Zbl 0296.28016

[7] W. Parry. Entropy and Generators in Ergodic Theory. W. A. Benjamin, New York, 1969. | MR 262464 | Zbl 0175.34001

[8] E. Roy. Mesures de poisson, infinie divisibilité et propriétés ergodiques. Ph.D. thesis, 2005.

[9] P. C. Shields. The Ergodic Theory of Discrete Sample Paths. Graduate Studies in Mathematics 13. Amer. Math. Soc. Providence, RI, 1996. | MR 1400225 | Zbl 0879.28031