Maximal brownian motions
Brossard, Jean ; Émery, Michel ; Leuridan, Christophe
Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 45 (2009), p. 876-886 / Harvested from Numdam
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Soient Z=(X, Y) un mouvement brownien plan de filtration naturelle 𝒵, et B un mouvement brownien linéaire de la filtration 𝒵. On dit que B est maximal, et que la filtration naturelle de B est maximale, lorsqu’aucun autre mouvement brownien linéaire de 𝒵 n’engendre une filtration strictement plus grosse que celle de B. Il est par exemple établi dans [In Séminaire de Probabilités XLI 265-278 (2008) Springer] que B est maximal dès qu’il existe dans 𝒵 un mouvement brownien linéaire C indépendant de B et tel que le mouvement brownien plan (B, C) engendre toute la filtration 𝒵; nous ne savons pas si cette condition suffisante de maximalité est aussi nécessaire. Nous donnons une conditions nécessaire de maximalité, ainsi qu’une condition suffisante peut-être plus faible que l’existence d’un tel C. À l'aide de cette condition suffisante, nous démontrons que le mouvement brownien linéaire ∫(X dY-Y dX)/|Z|, qui régit la partie angulaire de Z, est maximal.

Let Z=(X, Y) be a planar brownian motion, 𝒵 the filtration it generates, and B a linear brownian motion in the filtration 𝒵. One says that B (or its filtration) is maximal if no other linear 𝒵-brownian motion has a filtration strictly bigger than that of B. For instance, it is shown in [In Séminaire de Probabilités XLI 265-278 (2008) Springer] that B is maximal if there exists a linear brownian motion C independent of B and such that the planar brownian motion (B, C) generates the same filtration 𝒵 as Z. We do not know if this sufficient condition for maximality is also necessary. We give a necessary condition for B to be maximal, and a sufficient condition which may be weaker than the existence of such a C. This sufficient condition is used to prove that the linear brownian motion ∫(X dY-Y dX)/|Z|, which governs the angular part of Z, is maximal.

Publié le : 2009-01-01
DOI : https://doi.org/10.1214/08-AIHP194
Classification:  60J65,  60G07,  60G44 
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     author = {Brossard, Jean and \'Emery, Michel and Leuridan, Christophe},
     title = {Maximal brownian motions},
     journal = {Annales de l'I.H.P. Probabilit\'es et statistiques},
     volume = {45},
     year = {2009},
     pages = {876-886},
     doi = {10.1214/08-AIHP194},
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Brossard, Jean; Émery, Michel; Leuridan, Christophe. Maximal brownian motions. Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 45 (2009) pp. 876-886. doi : 10.1214/08-AIHP194. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIHPB_2009__45_3_876_0/

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