Vitesse de convergence dans le théorème limite central pour des chaînes de Markov fortement ergodiques

Hervé, Loïc

Hervé, Loïc

Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 44 (2008), p. 280-292 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Soit $Q$ une probabilité de transition sur un espace mesurable $E$ , admettant une probabilité invariante, soit ${(X_{n})}_{n}$ une chaîne de Markov associée à $Q$ , et soit $ξ$ une fonction réelle mesurable sur $E$ , et $S_{n} = \sum_{k}^{n} = ξ (X_{k})$ . Sous des hypothèses fonctionnelles sur l’action de $Q$ et des noyaux de Fourier $Q (t)$ , nous étudions la vitesse de convergence dans le théorème limite central pour la suite ${(\frac{S_{n}}{\sqrt{n}})}_{n}$ . Selon les hypothèses nous obtenons une vitesse en $n^{- τ / 2}$ pour tout $τ < 1$ , ou bien en $n^{- 1 / 2}$ . Nous appliquons la méthode de Nagaev en l’améliorant, d’une part grâce à un théorème de perturbations de Keller et Liverani, d’autre part grâce à une majoration de $| 𝔼 [e^{i t S_{n} / \sqrt{n}}] - e^{- t^{2} / 2} |$ obtenue par une méthode de réduction en différence de martingale. Lorsque $E$ est non compact ou $ξ$ est non bornée, les conditions requises ici sur $Q (t)$ (en substance, des conditions de moment sur $ξ$ ) sont plus faibles que celles habituellement imposées lorsqu’on utilise le théorème de perturbation standard. Par exemple, dans le cadre des chaînes $V$ -géométriquement ergodiques ou des modèles itératifs Lipschitziens, on obtient dans le t.l.c. une vitesse en $n^{- 1 / 2}$ sous une hypothèse de moment d’ordre 3 sur $ξ$ .

Let $Q$ be a transition probability on a measurable space $E$ which admits an invariant probability measure, let ${(X_{n})}_{n}$ be a Markov chain associated to $Q$ , and let $ξ$ be a real-valued measurable function on $E$ , and $S_{n} = \sum_{k}^{n} = ξ (X_{k})$ . Under functional hypotheses on the action of $Q$ and the Fourier kernels $Q (t)$ , we investigate the rate of convergence in the central limit theorem for the sequence ${(\frac{S_{n}}{\sqrt{n}})}_{n}$ . According to the hypotheses, we prove that the rate is, either $O (n^{- τ / 2})$ for all $τ < 1$ , or $O (n^{- 1 / 2})$ . We apply the spectral Nagaev’s method which is improved by using a perturbation theorem of Keller and Liverani, and a majoration of $| 𝔼 [e^{i t S_{n} / \sqrt{n}}] - e^{- t^{2} / 2} |$ obtained by a method of martingale difference reduction. When $E$ is not compact or $ξ$ is not bounded, the conditions required here on $Q (t)$ (in substance, some moment conditions on $ξ$ ) are weaker than the ones usually imposed when the standard perturbation theorem is used in the spectral method. For example, in the case of $V$ -geometric ergodic chains or Lipschitz iterative models, the rate of convergence in the c.l.t. is $O (n^{- 1 / 2})$ ) under a third moment condition on $ξ$ .

Publié le : 2008-01-01

MR 2446324 | Zbl 1178.60051 | 2 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.1214/07-AIHP101
Classification: 60J05, 60F05

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Hervé, Loïc. Vitesse de convergence dans le théorème limite central pour des chaînes de Markov fortement ergodiques. Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 44 (2008) pp. 280-292. doi : 10.1214/07-AIHP101. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIHPB_2008__44_2_280_0/

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