Modules universels en caractéristique naturelle pour un groupe réductif fini

Ollivier, Rachel; Sécherre, Vincent

Annales de l'Institut Fourier, Tome 65 (2015), p. 397-430 / Harvested from Numdam

Access to full text
Full (PDF)
Full (DJVU)

Résumé
Abstract

Soit $k$ un corps fini de caractéristique $p$ , soit G le groupe des points $k$ -rationnels d’un groupe réductif connexe défini sur une clôture algébrique ${\bar{F}}_{p}$ de $k$ et U les points $k$ -rationnels du radical unipotent d’un sous-groupe de Borel B défini sur $k$ . Nous étudions le module universel C des fonctions de G dans ${\bar{F}}_{p}$ invariantes par translation par U, en tant que module sur son algèbre de G-endomorphismes H. En utilisant un résultat de Cabanes, nous prouvons que C est plat sur H si et seulement si la catégorie des H-modules de dimension finie est équivalente à celle des ${\bar{F}}_{p}$ -représentations de dimension finie de G engendrées par leurs vecteurs U-invariants. En particulier, nous étudions la platitude de C dans le cas où G $=$ GL $(n, k)$ , en fonction du cardinal de $k$ . Dans un travail ultérieur, nous montrerons comment ces résultats de platitude impliquent des résultats analogues pour le module universel de GL(3) sur un corps $p$ -adique.

Let $k$ be a finite field of characteristic $p$ , let G be the group of $k$ -rational points of a connected reductive group defined over an algebraic closure ${\bar{F}}_{p}$ of $k$ , and let U be the $k$ -rational points of the unipotent radical of a Borel subgroup B defined over $k$ . We study the universal module C of ${\bar{F}}_{p}$ -valued functions on G that are invariant under translation by U, as a module over its G-endomorphism algebra H. Using a theorem by Cabanes, we prove that C is flat over H if and only if the category of finite dimensional H-modules is equivalent to the category of finite dimensional ${\bar{F}}_{p}$ -representations of G generated by their U-invariant subspace. We study more specifically the flatness of C when G $=$ GL $(n, k)$ depending on the cardinality of $k$ . In a subsequent paper, we will focus on $n = 3$ and will show how some of these flatness results imply analogous statements for the universal module of the group GL(3) over a $p$ -adic field.

Publié le : 2015-01-01

Zbl 06496545

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2936
Classification: 20C33, 20C08
Mots clés: Représentation modulaire ; Groupe réductif fini ; Algèbre de Hecke

@article{AIF_2015__65_1_397_0,
     author = {Ollivier, Rachel and S\'echerre, Vincent},
     title = {Modules universels en caract\'eristique naturelle pour un groupe r\'eductif fini},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     volume = {65},
     year = {2015},
     pages = {397-430},
     doi = {10.5802/aif.2936},
     zbl = {06496545},
     language = {fr},
     url = {http://dml.mathdoc.fr/item/AIF_2015__65_1_397_0}
}

Ollivier, Rachel; Sécherre, Vincent. Modules universels en caractéristique naturelle pour un groupe réductif fini. Annales de l'Institut Fourier, Tome 65 (2015) pp. 397-430. doi : 10.5802/aif.2936. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_2015__65_1_397_0/

Bibliographie

[1] Benson, D. J. Representations and Cohomology I, Basic Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (1991) | MR 1110581 | Zbl 0908.20001

[2] Bourbaki, N. Algèbre commutative, Chapitres 1 et 2, Hermann, Paris (1961) | MR 171800

[3] Bourbaki, N. Algèbre, Chapitres 1 à 3, Hermann, Paris (1970) | MR 274237 | Zbl 0211.02401

[4] Cabanes, M.; Cabanes, M. A criterion of complete reducibility and some applications, Représentations linéaires des groupes finis, Soc. Math. France, Paris (Astérisque) Tome 181-182 (1990), pp. 93-112 | MR 1051244 | Zbl 0799.16007

[5] Cabanes, M.; Enguehard, M. Representation theory of finite reductive groups, Cambridge University Press (2004) | MR 2057756 | Zbl 1069.20032

[6] Carter, R. W. Finite Groups of Lie Type, Wiley Interscience (1985) | MR 794307 | Zbl 0567.20023

[7] Carter, R. W.; Lusztig, G. Modular representations of finite groups of Lie type, Proc. London Math. Soc., Tome 32 (1976), pp. 347-384 | Article | MR 396731 | Zbl 0338.20013

[8] Diamond, F. A correspondence between representations of local Galois groups and Lie-type groups, L-functions and Galois representations / edited by David Burns, Kevin Buzzard and Jan Nekovár, Cambridge University Press (2007) | MR 2392355 | Zbl 1230.11069

[9] Henniart, G.; Vignéras, M.-F. A Satake isomorphism for representations modulo $p$ of reductive groups over local fields (2011) (prépublication, http://www.math.jussieu.fr/~vigneras)

[10] Herzig, F. The weight in a Serre type conjecture for tame $n$ -dimensional Galois representations, Harvard University (2006) (Ph. D. Thesis) | MR 2708746

[11] Herzig, F. The weight in a Serre type conjecture for tame $n$ -dimensional Galois representations, Duke Math. J., Tome 149 (2009), pp. 37-116 | Article | MR 2541127 | Zbl 1232.11065

[12] Herzig, F. A Satake isomorphism in characteristic $p$ , Compositio Math., Tome 147 (2011) no. 1, pp. 263-283 | Article | MR 2771132 | Zbl 1214.22004

[13] Jantzen, J. C. Representations of algebraic groups, American Mathematical Society, Providence, RI, Mathematical Surveys and Monographs, Tome 107 (2003) | MR 2015057 | Zbl 1034.20041

[14] Jeyakumar, A. V. Principal indecomposable representations for the group $SL (2, q)$ , J. Algebra, Tome 30 (1974), pp. 444-458 | Article | MR 342601 | Zbl 0286.20010

[15] Lam, T. Y. Lectures on modules and rings, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, Tome 189 (1999) | MR 1653294 | Zbl 0911.16001

[16] Ollivier, R. Platitude du pro- $p$ -module universel de GL $_{2} (F)$ en caractéristique $p$ , Compositio Math., Tome 143 (2007), pp. 703-720 | MR 2330444 | Zbl 1170.22007

[17] Ollivier, R. Le foncteur des invariants sous l’action du pro- $p$ -Iwahori de GL $_{2} (ℚ_{p})$ , J. für die reine und angewandte Mathematik, Tome 635 (2009), pp. 149-185 | MR 2572257 | Zbl 1181.22017

[18] Ollivier, R. Parabolic induction and Hecke modules in characteristic $p$ for $p$ -adic GL $_{n}$ , Algebra and Number Theory, Tome 4-6 (2010), pp. 701-742 | Article | MR 2728487 | Zbl 1243.22017

[19] Ollivier, R.; Sécherre, V. Modules universels de GL(3) sur un corps $p$ -adique en caractéristique $p$ (prépublication)

[20] Paškūnas, V. Coefficient systems and supersingular representations of GL $_{2} (F)$ , Mém. Soc. Math. Fr. (NS) Tome 99 (2004) | Numdam | MR 2128381 | Zbl 1249.22010

[21] Sawada, H. Endomorphism rings of split $(B, N)$ -pairs, Tokyo J. Math., Tome 1 (1978) no. 1, pp. 139-148 | Article | MR 506777 | Zbl 0383.20006

[22] Schneider, P.; Stuhler, U. Representation theory and sheaves on the Bruhat-Tits building, Publ. Math. IHES, Tome 85 (1997), pp. 97-191 | Article | Numdam | MR 1471867 | Zbl 0892.22012

[23] Serre, J.-P. Linear representations of finite groups, Springer, Graduate Texts in Math., Tome 42 (1977) | MR 450380 | Zbl 0355.20006

[24] Vignéras, M.-F. Représentations $l$ -modulaires d’un groupe réductif $p$ -adique avec $l \neq p$ , Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, Progress in Mathematics, Tome 137 (1996) | Zbl 0859.22001

[25] Vignéras, M.-F. Induced $R$ -representations of $p$ -adic reductive groups, Selecta Math. (N.S.), Tome 4 (1998) no. 4, pp. 549-623 (with an appendix by Alberto Arabia) | Article | MR 1668044 | Zbl 0943.22017