Dynamique et formes normales d’équations différentielles implicites

Aurouet, Julien

Annales de l'Institut Fourier, Tome 64 (2014), p. 1903-1945 / Harvested from Numdam

Résumé

Dans cet article on cherche à comprendre la dynamique locale d’équations différentielles implicites de la forme $F(x,y,dy)=0$, où $F$ est un germe de fonction sur $\mathbb{K}^n \times \mathbb{K} \times {\mathbb{K}^n}^*$ (où $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$), au voisinage d’un point singulier. Pour cela on utilise la relation intime entre les systèmes implicites et les champs liouvilliens. La classification par transformation de contact des équations implicites provient de la classification symplectique des champs liouvilliens. On utilise alors toute la théorie des formes normales pour les champs de vecteurs, dans le cas holomorphe (Brjuno, Siegel, Stolovitch) et dans le cas réel (Sternberg), que l’on adapte pour les champs liouviliens avec des transformations symplectiques. On établit alors des résultats de classification des équations implicites en fonction des invariants dynamiques, ainsi que des conditions d’existence de solutions locales via les formes normales.

Abstract

In this paper, we try to understand the local dynamic of implicit equations of the form $F(x,y,dy)=0$, where $F$ is a germ of function on $\mathbb{K}^n \times \mathbb{K} \times {\mathbb{K}^n}^*$ (where $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ or $\mathbb{C}$), in a neighborhood of a singular point. To this end we use the relation between implicit systems and liouvillian vector fields. The classification by contact transformations of implicit equations come from the symplectic classification of liouvillian vector fields. We use all normal forms theory for vector fields, in complex case (Bjruno, Siegel, Stolovitch), and in real case (Sternberg), adapted to liouvillian fields with symplectic transformations. We establish classification results for implicit equations according to the dynamical invariants, and existence conditions of local solutions using normal forms.

Détail

Publié le : 2014-01-01

MR 3330927 | Zbl 06387327

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2900
Classification:  34Mxx,  37Fxx
Mots clés: Formes normales, équations différentielles implicites, champs de liouville, normalisation symplectique.

Bibliographie

[1] Arnold, V. Chapitres supplémentaires de la théorie des équations différentielles ordinaires, “Mir”, Moscow (1980), pp. 324 (Translated from the Russian by Djilali Embarek) | MR 626685 | Zbl 0455.34001

[2] Brjuno, A. D. Analytic form of differential equations. I, II, Trudy Moskov. Mat. Obšč., Tome 25 (1971), p. 119-262 ; ibid. 26 (1972), 199–239 | MR 377192 | Zbl 0263.34003

[3] Chaperon, Marc Quelques outils de la théorie des actions différentiables, Astérisque, Tome 107 (1983), pp. 259-275 (Third Schnepfenried geometry conference, Vol. 1 (Schnepfenried, 1982)) | MR 753141 | Zbl 0533.57018

[4] Chaperon, Marc Géométrie différentielle et singularités de systèmes dynamiques, Astérisque (1986) no. 138-139, pp. 440 | Zbl 0601.58002

[5] Chaperon, Marc A remark on Liouville vector fields and a theorem of Manouchehri, Ergodic Theory Dynam. Systems, Tome 19 (1999) no. 4, pp. 895-899 | Article | MR 1709425 | Zbl 0957.37013

[6] Dara, Lak Singularités génériques des équations différentielles multiformes, Bol. Soc. Brasil. Mat., Tome 6 (1975) no. 2, pp. 95-128 | Article | MR 488153 | Zbl 0405.34045

[7] Davydov, A. A. The normal form of a differential equation, that is not solved with respect to the derivative, in the neighborhood of its singular point, Funktsional. Anal. i Prilozhen., Tome 19 (1985) no. 2, p. 1-10, 96 | Article | MR 800916 | Zbl 0582.34056

[8] Ekeland, Ivar Discussion personnelle (Novembre 2012)

[9] Manouchehri, M. Formes normales d’équations différentielles implicites et de champs de Liouville, Ergodic Theory Dynam. Systems, Tome 16 (1996) no. 4, pp. 779-789 | Article | MR 1406433 | Zbl 0854.35021

[10] Martinet, Jean; Ramis, Jean-Pierre Classification analytique des équations différentielles non linéaires résonnantes du premier ordre, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Tome 16 (1983) no. 4, p. 571-621 (1984) | Numdam | MR 740592 | Zbl 0534.34011

[11] Siegel, Carl Ludwig Iteration of analytic functions, Ann. of Math. (2), Tome 43 (1942), pp. 607-612 | Article | MR 7044 | Zbl 0061.14904

[12] Sternberg, Shlomo Local contractions and a theorem of Poincaré, Amer. J. Math., Tome 79 (1957), pp. 809-824 | Article | MR 96853 | Zbl 0080.29902

[13] Sternberg, Shlomo On the structure of local homeomorphisms of euclidean $n$-space. II., Amer. J. Math., Tome 80 (1958), pp. 623-631 | Article | MR 96854 | Zbl 0083.31406

[14] Stolovitch, Laurent Normal form of holomorphic dynamical systems, Lecture

[15] Stolovitch, Laurent Classification analytique de champs de vecteurs $1$-résonnants de $({\bf C}^n,0)$, Asymptotic Anal., Tome 12 (1996) no. 2, pp. 91-143 | MR 1386227 | Zbl 0852.58013

[16] Takens, Floris Singularities of vector fields, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1974) no. 43, pp. 47-100 | Article | Numdam | MR 339292 | Zbl 0279.58009

[17] Thom, R. Sur les équations différentielles multiformes et leurs intégrales singulières, Bol. Soc. Brasil. Mat., Tome 3 (1972) no. 1, pp. 1-11 | Article | MR 343311 | Zbl 0396.34018

[18] Vey, Jacques Algèbres commutatives de champs de vecteurs isochores, Bull. Soc. Math. France, Tome 107 (1979) no. 4, pp. 423-432 | Numdam | MR 557079 | Zbl 0426.58022