On varieties of Hilbert type

[Sur les variétés ayant la propriété de Hilbert]

Bary-Soroker, Lior ; Fehm, Arno ; Petersen, Sebastian

Annales de l'Institut Fourier, Tome 64 (2014), p. 1893-1901 / Harvested from Numdam

Résumé

Une variété $X$ sur un corps $K$ a la propriété de Hilbert si $X(K)$ n’est pas mince. Nous montrons que si $f\colon X\rightarrow S$ est un morphisme de $K$-variétés dominant et si $S$ ainsi que toutes les fibres $f^{-1}(s)$ pour $s\in S(K)$ ont la propriété de Hilbert, alors $X$ aussi. Ceci nous permet de répondre à une question de Serre concernant les produits de variétés, et de généraliser un résultat de Colliot-Thélène et Sansuc sur les groupes algébriques.

Abstract

A variety $X$ over a field $K$ is of Hilbert type if $X(K)$ is not thin. We prove that if $f\colon X\rightarrow S$ is a dominant morphism of $K$-varieties and both $S$ and all fibers $f^{-1}(s)$, $s\in S(K)$, are of Hilbert type, then so is $X$. We apply this to answer a question of Serre on products of varieties and to generalize a result of Colliot-Thélène and Sansuc on algebraic groups.

Détail

Publié le : 2014-01-01

MR 3330926 | Zbl 06387326

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2899
Classification:  12E25,  12E30,  20G30
Mots clés: ensemble mince, propriété de Hilbert, corps Hilbertien, groupes algébriques

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