Transience of algebraic varieties in linear groups - applications to generic Zariski density

[Transience des variétés algébriques dans les groupes linéaires - applications à la généricité de la notion de densité Zariski]

Aoun, Richard

Annales de l'Institut Fourier, Tome 63 (2013), p. 2049-2080 / Harvested from Numdam

Résumé

Nous étudions la transience des variétés algébriques dans les groupes linéaires. En particulier, nous montrons qu’une marche aléatoire sur un sous-groupe non élémentaire de $SL_2({\mathbb{R}})$ évite toute sous-variété algébrique propre avec une probabilité convergeant vers 1 de façon exponentielle. Nous étudions aussi le cas où la marche aléatoire vit dans un sous-groupe Zariski dense du groupe des points réels d’un groupe algébrique semi-simple, défini et déployé sur ${\mathbb{R}}$.

Nous utilisons ces résultats pour montrer qu’un sous-groupe aléatoire (en un sens à préciser) d’un groupe algébrique est Zariski dense.

Abstract

We study the transience of algebraic varieties in linear groups. In particular, we show that a “non elementary” random walk in $SL_2({\mathbb{R}})$ escapes exponentially fast from every proper algebraic subvariety. We also treat the case where the random walk takes place in the real points of a semisimple split algebraic group and show such a result for a wide family of random walks.

As an application, we prove that generic subgroups (in some sense) of linear groups are Zariski dense.

Détail

Publié le : 2013-01-01

MR 3203113 | Zbl 06284540

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2822
Classification:  20P05,  20G20,  60B15
Mots clés: propriétés génériques des groupes linéaires, marches aléatoires sur les groupes, produits de matrices aléatoires, sous-variétés des groupes algébriques linéaires

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