The Hilbert Scheme of Buchsbaum space curves

[Le schéma de Hilbert des courbes gauches de Buchsbaum]

Kleppe, Jan O.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 62 (2012), p. 2099-2130 / Harvested from Numdam

Résumé

Nous considérons le schéma de Hilbert $\mathop {H}(d,g)$ des courbes $C$ dont l’idéal homogène est $I(C):=H_{*}^0(\mathcal{I}_{C})$ et le module de Rao $M:=H_{*}^1(\mathcal{I}_{C})$. En prenant des générisations (déformations) convenables $C^{\prime}$ de $C$ on simplifie la résolution minimale libre de $I(C)$. Par exemple, certains facteurs libres consécutifs vont disparaître dans une résolution libre de $I(C^{\prime})$. En appliquant ceci à des courbes de Buchsbaum de diamètre 1 ($M_v \ne 0$ seulement pour une valeur de $v$), nous donnons une correspondance biunivoque entre l’ensemble $\mathcal{S}$ des composantes irréductibles de $\mathop {H}(d,g)$ qui contiennent $(C)$ et un ensemble des quintuplets minimaux, qui se spécialise à un quintuple de nombres de Betti gradués de $C$. De plus nous déterminons presque complétement les nombres de Betti gradués de toutes les générisations de $C$, et nous donnons une description du lieu singulier du schéma de Hilbert des courbes de diamètre au plus égal à 1. Nous démontrons aussi des résultats de sémi-continuité pour les nombres de Betti gradués des courbes.

Abstract

We consider the Hilbert scheme $\mathop {H}(d,g)$ of space curves $C$ with homogeneous ideal $I(C):=H_{*}^0(\mathcal{I}_{C})$ and Rao module $M:=H_{*}^1(\mathcal{I}_{C})$. By taking suitable generizations (deformations to a more general curve) $C^{\prime}$ of $C$, we simplify the minimal free resolution of $I(C)$ by e.g making consecutive free summands (ghost-terms) disappear in a free resolution of $I(C^{\prime})$. Using this for Buchsbaum curves of diameter one ($M_v \ne 0$ for only one $v$), we establish a one-to-one correspondence between the set $\mathcal{S}$ of irreducible components of $\mathop {H}(d,g)$ that contain $(C)$ and a set of minimal 5-tuples that specializes in an explicit manner to a 5-tuple of certain graded Betti numbers of $C$ related to ghost-terms. Moreover we almost completely (resp. completely) determine the graded Betti numbers of all generizations of $C$ (resp. all generic curves of $\mathcal{S}$), and we give a specific description of the singular locus of the Hilbert scheme of curves of diameter at most one. We also prove some semi-continuity results for the graded Betti numbers of any space curve under some assumptions.

Détail

Publié le : 2012-01-01

MR 3060753 | Zbl 1271.14007

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2744
Classification:  14C05,  14H50,  14M06,  13D02,  13C40
Mots clés: schéma de Hilbert, courbe, courbe de Buchsbaum, nombre de Betti gradué.

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