Surface Projective Convexe de volume fini

Marquis, Ludovic

Annales de l'Institut Fourier, Tome 62 (2012), p. 325-392 / Harvested from Numdam

Résumé

Une surface projective convexe est le quotient d’un ouvert proprement convexe $\Omega $ de l’espace projectif réel $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ par un sous-groupe discret $\Gamma $ de $\textrm{SL}_3(\mathbb{R})$. Nous donnons plusieurs caractérisations du fait qu’une surface projective convexe est de volume fini pour la mesure de Busemann. On en déduit que si $\Omega $ n’est pas un triangle alors $\Omega $ est strictement convexe, à bord $\mathcal{C}^1$ et qu’une surface projective convexe $S$ est de volume fini si et seulement si la surface duale est de volume fini.

Abstract

A convex projective surface is the quotient of a properly convex open $\Omega $ of the projective real space $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ by a discrete subgroup $\Gamma $ of $\textrm{SL}_3(\mathbb{R})$. We give some caracterisations of the fact that a convex projective surface is of finite volume for the Busemann’s measure. We deduce that, if $\Omega $ is not a triangle, then $\Omega $ is strictly convex, with $\mathcal{C}^1$ boundary and that a convex projective surface $S$ is of finite volume if and only if the dual surface is of finite volume.

Détail

Publié le : 2012-01-01

MR 2986273 | Zbl 1254.57015 | 2 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2707
Classification:  57M50,  52C20,  22E40
Mots clés: surface, géométrie de Hilbert, géométrie hyperbolique, réseau, sous-groupes discrets des groupes de Lie

Bibliographie

[1] Benoist, Yves Automorphismes des cônes convexes, Invent. Math., Tome 141 (2000), pp. 149-193 | Article | MR 1767272

[2] Benoist, Yves Convexes hyperboliques et fonctions quasisymétriques, Publ. Math. IHES, Tome 97 (2003), pp. 181-237 | Article | Numdam | MR 2010741

[3] Benoist, Yves Convexes hyperpoliques et quasiisométries, Geometriae Dedicata, Tome 122 (2006), pp. 109-134 | Article | MR 2295544

[4] Benoist, Yves Sous-groupes discrets des groupes de Lie, European Summer School in Group Theory Luminy (7-18 July 1997)

[5] Benzécri, Jean-Paul Sur les variétés localement affines et localement projectives, Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 88 (1960), pp. 229-332 | Numdam | MR 124005 | Zbl 0098.35204

[6] Borel, Armand Compact Clifford-Klein forms of symmetric spaces, Topology, Tome 2 (1963), pp. 111-122 | Article | MR 146301 | Zbl 0116.38603

[7] Burago, Dmitri; Burago, Yuri; Ivanov, Sergei A course in metric geometry, American Mathematical Society, Providence, RI, Graduate Studies in Mathematics, Tome 33 (2001) | MR 1835418

[8] Choi, Suhyoung Convex decompositions of real projective surfaces. II : Admissible decompositions, J. Differential Geom, Tome 40 (1994), pp. 239-283 | MR 1293655 | Zbl 0822.53009

[9] Colbois, Bruno; Vernicos, Constantin; Verovic, Patrick L’aire des triangles idéaux en géométrie de Hilbert, L’enseignement mathématique, Tome 50 (2004), pp. 203-237 | MR 2116715

[10] Colbois, Bruno; Vernicos, Constantin; Verovic, Patrick Area of ideal triangles and gromov hyperbolicity in hilbert geometry (A paraître)

[11] Goldman, William Convex real projective structures on compact surfaces, J. Differential Geom., Tome 31 (1990), pp. 791-845 | MR 1053346 | Zbl 0711.53033

[12] Johnson, D.; Millson, John Deformation spaces associated to compact hyperbolic manifolds, Discrete groups in Geometry and Analysis Progr. Math, Tome 67 (1984), pp. 48-106 | MR 900823 | Zbl 0664.53023

[13] Kac, Victor; Vinberg, Ernest Borisovich Quasi-homogeneous cones, Math. Notes, Tome 1 (1967), pp. 231-235 | Article | Zbl 0163.16902

[14] Kapovich, Misha Convex projective structures on Gromov-Thurston manifolds, Geometry and Topology, Tome 11 (2007), pp. 1777-1830 | Article | MR 2350468

[15] Lee, Jaejeong Convex fundamental domains for properly convex real projective structures (preprint)

[16] Marquis, Ludovic Espace de Modules Marqués des Surfaces Projectives Convexes de Volume Fini (preprint arxiv.org/abs/0910.5839)

[17] Richards, Ian On the classification of noncompact surfaces, Trans. Amer. Math. Soc., Tome 106 (1963), pp. 259-269 | Article | MR 143186 | Zbl 0156.22203

[18] Vey, Jacques Sur les automorphismes affines des ouverts convexes saillants, Anna Scuola Normale Superiore di Pisa, Tome 24 (1970), pp. 641-665 | Numdam | MR 283720 | Zbl 0206.51302

[19] Vinberg, Èrnest Borisovich The theory of convex homogeneous cones, Trudy Moskov. Mat. Obšč., Tome 12 (1963), pp. 303-358 | MR 158414 | Zbl 0138.43301

[20] Vinberg, Èrnest Borisovich The structure group of automorphisms of a homogeneous convex cone, Trudy Moskov. Mat. Obšč., Tome 13 (1965), pp. 56-81 | MR 201575 | Zbl 0224.17010