Adjoint representation of $\text{\upshape E}_8$ and del Pezzo surfaces of degree $1$

Serganova, Vera V.; Skorobogatov, Alexei N.

Adjoint representation of

E_{8}

and del Pezzo surfaces of degree

1

[La représentation adjointe de

E_{8}

et les surfaces de del Pezzo de degré

1

]

Serganova, Vera V. ; Skorobogatov, Alexei N.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 61 (2011), p. 2337-2360 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Soit $X$ une surface de del Pezzo de degré $1$ , et soit $G$ un groupe de Lie simple de type $E_{8}$ . Nous montrons que tout torseur universel sur $X$ est un sous-ensemble localement fermé de la $G$ -orbite d’un vecteur du plus grand point de la représentation adjointe. Ce plongement est équivariant par rapport à l’action du tore de Néron–Severi $T$ de $X$ , identifié avec un tore maximal de l’extension de $G$ par le groupe de scalaires. En outre, les sections hyperplanes $T$ -invariantes du torseur définies par les racines de $G$ sont les images réciproques des $240$ courbes exceptionnelles de $X$ .

Let $X$ be a del Pezzo surface of degree $1$ , and let $G$ be the simple Lie group of type $E_{8}$ . We construct a locally closed embedding of a universal torsor over $X$ into the $G$ -orbit of the highest weight vector of the adjoint representation. This embedding is equivariant with respect to the action of the Néron-Severi torus $T$ of $X$ identified with a maximal torus of $G$ extended by the group of scalars. Moreover, the $T$ -invariant hyperplane sections of the torsor defined by the roots of $G$ are the inverse images of the $240$ exceptional curves on $X$ .

Publié le : 2011-01-01

MR 2976314 | Zbl 1257.14025

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2676
Classification: 14J26, 14M17, 22E46
Mots clés: torseurs universels, surfaces de del Pezzo, groupes de Lie, espaces homogènes

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     author = {Serganova, Vera V. and Skorobogatov, Alexei N.},
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Serganova, Vera V.; Skorobogatov, Alexei N. Adjoint representation of $\text{\upshape E}_8$ and del Pezzo surfaces of degree $1$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 61 (2011) pp. 2337-2360. doi : 10.5802/aif.2676. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_2011__61_6_2337_0/

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