Almost étale extensions of Fontaine rings and log-crystalline cohomology in the semi-stable reduction case

[Revêtements presque étales d’anneaux de Fontaine et cohomologie log-cristalline dans le cas semi-stable]

Lodh, Rémi Shankar

Annales de l'Institut Fourier, Tome 61 (2011), p. 1875-1942 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $K$ un corps de caractéristique nulle, complet pour une valuation discrète, à corps résiduel parfait de caractéristique $p>0$, et soit $K^+$ son anneau d’entiers. Nous montrons que la cohomologie log-cristalline de la fibre spéciale de certains $K^+$-schémas affines $X=\operatorname{Spec}(R)$ à réduction bonne ou semi-stable se calcule comme la cohomologie galoisienne du groupe fondamental $\pi _1(X_{\bar{K}})$ de la fibre générique géométrique de $X$ à valeurs dans un anneau de Fontaine construit à partir de $R$. Ce calcul est basé sur la théorie des revêtements presque étales de Faltings.

Abstract

Let $K$ be a field of characteristic zero complete for a discrete valuation, with perfect residue field of characteristic $p>0$, and let $K^+$ be the valuation ring of $K$. We relate the log-crystalline cohomology of the special fibre of certain affine $K^+$-schemes $X=\operatorname{Spec}(R)$ with good or semi-stable reduction to the Galois cohomology of the fundamental group $\pi _1(X_{\bar{K}})$ of the geometric generic fibre with coefficients in a Fontaine ring constructed from $R$. This is based on Faltings’ theory of almost étale extensions.

Détail

Publié le : 2011-01-01

MR 2961843 | Zbl pre06032129

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2661
Classification:  14F30
Mots clés: théorie de Hodge $p$-adique, revêtements presque étales, cohomologie cristalline, structures logarithmiques

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