Conformally invariant trilinear forms on the sphere

[Formes trilinéaires conformément invariantes sur la sphère]

Clerc, Jean-Louis ; Ørsted, Bent

Annales de l'Institut Fourier, Tome 61 (2011), p. 1807-1838 / Harvested from Numdam

Résumé

À chaque nombre complexe $\lambda $ est associée une représentation $\pi _\lambda $ du groupe conforme $SO_0(1,n)$ sur $\mathcal{C}^\infty (S^{n-1})$ (série principale sphérique). Pour chaque triplet $(\lambda _1,\lambda _2,\lambda _3)$, nous construisons une forme trilinéaire sur $\mathcal{C}^\infty (S^{n-1})\times \mathcal{C}^\infty (S^{n-1})\times \mathcal{C}^\infty (S^{n-1})$ qui est invariante par $\pi _{\lambda _1}\otimes \pi _{\lambda _2}\otimes \pi _{\lambda _3}$. La forme trilinéaire, d’abord définie dans un ouvert de $\mathbb{C}^3$ est étendue méromorphiquement, avec des pôles simples en une famille explicite de plans de $\mathbb{C}^3$. Pour les valeurs génériques des paramètres, nous démontrons l’unicité d’une telle forme trilinéaire invariante.

Abstract

To each complex number $\lambda $ is associated a representation $\pi _\lambda $ of the conformal group $SO_0(1,n)$ on $\mathcal{C}^\infty (S^{n-1})$ (spherical principal series). For three values $\lambda _1,\lambda _2,\lambda _3$, we construct a trilinear form on $\mathcal{C}^\infty (S^{n-1})\times \mathcal{C}^\infty (S^{n-1})\times \mathcal{C}^\infty (S^{n-1})$, which is invariant by $\pi _{\lambda _1}\otimes \pi _{\lambda _2}\otimes \pi _{\lambda _3}$. The trilinear form, first defined for $(\lambda _1, \lambda _2,\lambda _3)$ in an open set of $\mathbb{C}^3$ is extended meromorphically, with simple poles located in an explicit family of hyperplanes. For generic values of the parameters, we prove uniqueness of trilinear invariant forms.

Détail

Publié le : 2011-01-01

MR 2961841 | Zbl 1252.22008

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2659
Classification:  22E45,  43A85
Mots clés: formes trilinéaires invariantes, groupe conforme, prolongement méromorphe

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