Quasi-reductive (bi)parabolic subalgebras in reductive Lie algebras.
[Sous-algèbres (bi)paraboliques quasi-réductives des algèbres de Lie réductives]
Baur, Karin ; Moreau, Anne
Annales de l'Institut Fourier, Tome 61 (2011), p. 417-451 / Harvested from Numdam
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Une algèbre de Lie de dimension finie est dite quasi-réductive si elle possède une forme linéaire dont le stablisateur pour la représentation coadjointe, modulo le centre, est une algèbre de Lie réductive avec un centre formé d’éléments semi-simples. Les sous-algèbres paraboliques d’une algèbre de Lie semi-simple ne sont pas toujours quasi-réductives (sauf en types A ou C d’après un résultat de Panyushev). Récemment, Duflo, Khalgui and Torasso ont terminé la classification des sous-algèbres paraboliques quasi-réductives dans le cas classique. Dans cet article nous étudions la quasi-réductivité des sous-algèbres biparaboliques des algèbres de Lie réductives. Les sous-algèbres biparaboliques sont les intersections de deux sous-algèbres paraboliques dont la somme est l’algèbre de Lie ambiante. Notre principal résultat est la complétion de la classification des sous-algèbres paraboliques quasi-réductives des algèbres de Lie réductives.

We say that a finite dimensional Lie algebra is quasi-reductive if it has a linear form whose stabilizer for the coadjoint representation, modulo the center, is a reductive Lie algebra with a center consisting of semisimple elements. Parabolic subalgebras of a semisimple Lie algebra are not always quasi-reductive (except in types A or C by work of Panyushev). The classification of quasi-reductive parabolic subalgebras in the classical case has been recently achieved in unpublished work of Duflo, Khalgui and Torasso. In this paper, we investigate the quasi-reductivity of biparabolic subalgebras of reductive Lie algebras. Biparabolic (or seaweed) subalgebras are the intersection of two parabolic subalgebras whose sum is the total Lie algebra. As a main result, we complete the classification of quasi-reductive parabolic subalgebras of reductive Lie algebras by considering the exceptional cases.

Publié le : 2011-01-01
DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2619
Classification:  17B20,  17B45,  22E60
Mots clés: algèbres de Lie réductives, algèbres de Lie quasi-réductives, algèbres de Lie biparaboliques, formes linéaires régulières 
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Baur, Karin; Moreau, Anne. Quasi-reductive (bi)parabolic subalgebras in reductive Lie algebras.. Annales de l'Institut Fourier, Tome 61 (2011) pp. 417-451. doi : 10.5802/aif.2619. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_2011__61_2_417_0/

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