On the linear independence of p-adic L-functions modulo p
[Sur l’indépendance linéaire des fonctions L p-adiques modulo p]
Anglès, Bruno ; Ranieri, Gabriele
Annales de l'Institut Fourier, Tome 60 (2010), p. 1831-1855 / Harvested from Numdam

Soit p3 un nombre premier. Soit n tel que n1, soient χ 1 ,...,χ n des caractères de conducteur d premier à p ; notons ω le caractère de Teichmüller. Pour tout i entre 1 et n et pour tout j entre 0 et (p-3)/2, on pose

θi,j=χiω2j+1siχi est impair ;χiω2jsiχi est pair .

Soit K= p (χ 1 ,...,χ n ) et soit π un premier de l’anneau de valuation 𝒪 K de K. Pour tout i,j notons f(T,θ i,j ) la série d’Iwasawa associée à θ i,j et f(T,θ i,j ) ¯ sa réduction modulo (π). Finalement soit 𝔽 p ¯ une clôture algébrique de 𝔽 p . Nous montrons que si les caractères χ i sont distincts modulo (π), alors 1 et les séries f(T,θ i,j ) ¯, sont linéairement indépendantes sur un certain corps Ω qui contient 𝔽 p ¯(T).

Let p3 be a prime. Let n such that n1, let χ 1 ,...,χ n be characters of conductor d not divided by p and let ω be the Teichmüller character. For all i between 1 and n, for all j between 0 and (p-3)/2, set

θi,j=χiω2j+1ifχi is odd ;χiω2jifχi is even .

Let K= p (χ 1 ,...,χ n ) and let π be a prime of the valuation ring 𝒪 K of K. For all i,j let f(T,θ i,j ) be the Iwasawa series associated to θ i,j and f(T,θ i,j ) ¯ its reduction modulo (π). Finally let 𝔽 p ¯ be an algebraic closure of 𝔽 p . Our main result is that if the characters χ i are all distinct modulo (π), then 1 and the series f(T,θ i,j ) ¯ are linearly independent over a certain field Ω that contains 𝔽 p ¯(T).

Publié le : 2010-01-01
DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2573
Classification:  11R23,  11R18,  11S80,  11J72
Mots clés: fonctions L p-adiques, transformée de Leopoldt p-adique, théorie d’Iwasawa, irrationalité
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     author = {Angl\`es, Bruno and Ranieri, Gabriele},
     title = {On the linear independence of $p$-adic $L$-functions modulo $p$},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
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Anglès, Bruno; Ranieri, Gabriele. On the linear independence of $p$-adic $L$-functions modulo $p$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 60 (2010) pp. 1831-1855. doi : 10.5802/aif.2573. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_2010__60_5_1831_0/

[1] Anglès, Bruno On the p-adic Leopoldt transform of a power series, Acta Arith., Tome 134 (2008) no. 4, pp. 349-367 | Article | MR 2449158 | Zbl pre05354502

[2] Lang, Serge Cyclotomic fields I and II, Springer-Verlag, New York, Graduate Texts in Mathematics, Tome 121 (1990) (With an appendix by Karl Rubin) | MR 1029028

[3] Sinnott, W. On the power series attached to p-adic L-functions, J. Reine Angew. Math., Tome 382 (1987), pp. 22-34 | Article | MR 921164 | Zbl 0621.12015

[4] Washington, Lawrence C. Introduction to cyclotomic fields, Springer-Verlag, New York, Graduate Texts in Mathematics, Tome 83 (1997) | MR 1421575 | Zbl 0966.11047