On the linear independence of $p$-adic $L$-functions modulo $p$

Anglès, Bruno; Ranieri, Gabriele

On the linear independence of

p

-adic

L

-functions modulo

p

[Sur l’indépendance linéaire des fonctions

L

p

-adiques modulo

p

]

Anglès, Bruno ; Ranieri, Gabriele

Annales de l'Institut Fourier, Tome 60 (2010), p. 1831-1855 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Soit $p \geq 3$ un nombre premier. Soit $n \in ℕ$ tel que $n \geq 1$ , soient $χ_{1}, ..., χ_{n}$ des caractères de conducteur $d$ premier à $p$ ; notons $ω$ le caractère de Teichmüller. Pour tout $i$ entre $1$ et $n$ et pour tout $j$ entre $0$ et $(p - 3) / 2$ , on pose

θ_{i, j} = \{\begin{matrix} χ_{i} ω^{2 j + 1} & si χ_{i} est impair; \\ χ_{i} ω^{2 j} & si χ_{i} est pair . \end{matrix}

Soit $K = ℚ_{p} (χ_{1}, ..., χ_{n})$ et soit $π$ un premier de l’anneau de valuation $𝒪_{K}$ de $K$ . Pour tout $i, j$ notons $f (T, θ_{i, j})$ la série d’Iwasawa associée à $θ_{i, j}$ et $\bar{f (T, θ_{i, j})}$ sa réduction modulo $(π)$ . Finalement soit $\bar{𝔽_{p}}$ une clôture algébrique de $𝔽_{p}$ . Nous montrons que si les caractères $χ_{i}$ sont distincts modulo $(π)$ , alors $1$ et les séries $\bar{f (T, θ_{i, j})}$ , sont linéairement indépendantes sur un certain corps $Ω$ qui contient $\bar{𝔽_{p}} (T)$ .

Let $p \geq 3$ be a prime. Let $n \in ℕ$ such that $n \geq 1$ , let $χ_{1}, ..., χ_{n}$ be characters of conductor $d$ not divided by $p$ and let $ω$ be the Teichmüller character. For all $i$ between $1$ and $n$ , for all $j$ between $0$ and $(p - 3) / 2$ , set

θ_{i, j} = \{\begin{matrix} χ_{i} ω^{2 j + 1} & if χ_{i} is odd; \\ χ_{i} ω^{2 j} & if χ_{i} is even . \end{matrix}

Let $K = ℚ_{p} (χ_{1}, ..., χ_{n})$ and let $π$ be a prime of the valuation ring $𝒪_{K}$ of $K$ . For all $i, j$ let $f (T, θ_{i, j})$ be the Iwasawa series associated to $θ_{i, j}$ and $\bar{f (T, θ_{i, j})}$ its reduction modulo $(π)$ . Finally let $\bar{𝔽_{p}}$ be an algebraic closure of $𝔽_{p}$ . Our main result is that if the characters $χ_{i}$ are all distinct modulo $(π)$ , then $1$ and the series $\bar{f (T, θ_{i, j})}$ are linearly independent over a certain field $Ω$ that contains $\bar{𝔽_{p}} (T)$ .

Publié le : 2010-01-01

MR 2766231 | Zbl 1219.11162

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2573
Classification: 11R23, 11R18, 11S80, 11J72
Mots clés: fonctions

L

p

-adiques, transformée de Leopoldt

p

-adique, théorie d’Iwasawa, irrationalité

@article{AIF_2010__60_5_1831_0,
     author = {Angl\`es, Bruno and Ranieri, Gabriele},
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     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
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Anglès, Bruno; Ranieri, Gabriele. On the linear independence of $p$-adic $L$-functions modulo $p$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 60 (2010) pp. 1831-1855. doi : 10.5802/aif.2573. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_2010__60_5_1831_0/

Bibliographie

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