On décrit un problème naturel concernant la transformation de Fourier. Soient , deux fonctions associées par celle-ci, positives pour et nulles en zéro. Quelle est la borne inférieure pour ? En dimension supérieure, même question, l’intervalle étant remplacé par la boule de rayon . On montre l’existence d’une borne inférieure strictement positive, qui est estimée en fonction de la dimension. La dernière section montre que cette question est naturellement liée à la théorie des fonctions zêta.
We consider a natural problem concerning Fourier transforms. In one variable, one seeks functions and , both positive for and vanishing at . What is the lowest bound for ? In higher dimension, the same problem can be posed by replacing the interval by a ball of radius . We show that there is indeed a strictly positive lower bound, which is estimated as a function of the dimension. In the last section the question, and its solution, are shown to be naturally related to the theory of zêta-functions.
@article{AIF_2010__60_4_1215_0, author = {Bourgain, Jean and Clozel, Laurent and Kahane, Jean-Pierre}, title = {Principe d'Heisenberg et fonctions positives}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, volume = {60}, year = {2010}, pages = {1215-1232}, doi = {10.5802/aif.2552}, zbl = {pre05793930}, mrnumber = {2722239}, language = {fr}, url = {http://dml.mathdoc.fr/item/AIF_2010__60_4_1215_0} }
Bourgain, Jean; Clozel, Laurent; Kahane, Jean-Pierre. Principe d’Heisenberg et fonctions positives. Annales de l'Institut Fourier, Tome 60 (2010) pp. 1215-1232. doi : 10.5802/aif.2552. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_2010__60_4_1215_0/
[1] Zeta Functions with a zero at , Inv. Math., Tome 15 (1972), pp. 199-205 | Article | MR 291122 | Zbl 0233.12006
[2] Ueber die Klassenzahl imaginaer-quadratischer Zahlkoerper, Goettingen Nachr. (1918), pp. 285-295
[3] Lower bounds for discriminants of number fields II, Tôhoku Math. J., Tome 29 (1977), pp. 209-216 | Article | MR 441918 | Zbl 0362.12005
[4] On class fields towers, Algebraic Number Theory, Academic Press (1967), pp. 231-249 | MR 218331
[5] Conducteurs d’Artin des caractères réels, Inv. Math., Tome 14 (1971), pp. 173-183 | Article | MR 321908 | Zbl 0229.13006
[6] Fourier Analysis in Number Fields and Hecke’s Zeta–Functions, Algebraic Number Theory, Academic Press (1967), pp. 305-347 | MR 217026