Soit un corps -adique, son groupe de Galois absolu et la valuation sur . Dans sa démonstration du théorème d’Ax-Sen-Tate, Ax montre que si pour un , vérifie pour tout , alors il existe tel que , avec . Ax se pose la question de l’optimalité de la constante , que nous étudions ici. En utilisant l’extension de engendrée par les racines -es d’une uniformisante fixée de , nous déterminons la constante optimale, ainsi que des informations supplémentaires sur les tels que pour tout , ce qui nous permet de donner une description du premier groupe de cohomologie de à coefficients dans l’anneau des entiers de .
Let be a -adic field, its absolute Galois group and the valuation on . In his proof of the Ax-Sen-Tate theorem, Ax shows that if for some , satisfies for all , then there exists such that , with . Ax questions the optimality of the constant , which we study here. Using the extension of generated by -th roots of a fixed uniformizer of , we find the optimal constant and some more information about those elements in satisfying for all , which allows us to give a description the first cohomology group of with coefficients in the ring of integers of .
@article{AIF_2010__60_3_1105_0, author = {Le Borgne, J\'er\'emy}, title = {Optimisation du th\'eor\`eme d'Ax-Sen-Tate et application \`a un calcul de cohomologie galoisienne $p$-adique}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, volume = {60}, year = {2010}, pages = {1105-1123}, doi = {10.5802/aif.2548}, zbl = {pre05763361}, mrnumber = {2680825}, language = {fr}, url = {http://dml.mathdoc.fr/item/AIF_2010__60_3_1105_0} }
Le Borgne, Jérémy. Optimisation du théorème d’Ax-Sen-Tate et application à un calcul de cohomologie galoisienne $p$-adique. Annales de l'Institut Fourier, Tome 60 (2010) pp. 1105-1123. doi : 10.5802/aif.2548. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_2010__60_3_1105_0/
[1] Zeros of polynomials over local fields, Journal of Algebra, Tome 15 (1970), pp. 417-428 | Article | MR 263786 | Zbl 0216.04703
[2] Une application du corps des normes, Compositiones Mathematicae, Tome 117 (1999), pp. 189-203 | Article | MR 1695849 | Zbl 0933.11055
[3] -représentations semi-stables (préprint, 2008) | MR 2951749
[4] Notes du cours de M2 (Corps locaux, http ://people.math.jussieu.fr /colmez)
[5] Notes du cours de M2 (Introduction aux anneaux de Fontaine, http ://people.math.jussieu.fr/ colmez)
[6] The algebraic closure of the power series field in positive characteristic, Proceedings of the American Mathematical Society, Tome 129 (2001), pp. 3461-3470 | Article | MR 1860477 | Zbl 1012.12007
[7] Power Series and -adic Algebraic Closures, Journal of Number Theory, Tome 89 (2001), pp. 24-339 | Article | MR 1845241 | Zbl 0980.12002
[8] On automorphisms of local fields, Annals of Mathematics, Tome 90 (1969), pp. 33-46 | Article | MR 244214 | Zbl 0199.36301
[9] Corps locaux, Hermann (1968) | MR 354618
[10] -divisible groups, Proceedings of a conference on Local fields, Springer, Driebergen (1966), pp. 158-183 | MR 231827 | Zbl 0157.27601
[11] Le corps des normes de certaines extensions infinies de corps locaux ; applications, Annales Scientifiques de l’Ecole Normale Supérieure, Tome 16 (1983), pp. 59-89 (4ème série) | Numdam | MR 719763 | Zbl 0516.12015