Hasse–Schmidt derivations, divided powers and differential smoothness

[Dérivations de Hasse–Schmidt, puissances divisées et lissité différentielle]

Narváez Macarro, Luis

Annales de l'Institut Fourier, Tome 59 (2009), p. 2979-3014 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $k$ un anneau commutatif, $A$ une $k$-algèbre commutative et $D$ l’anneau filtré des opérateurs différentiels $k$-linéaires de $A$. Nous montrons que  : (1) l’anneau gradué $\rm {gr}\,D$ admet un plongement canonique $\theta $ dans le dual gradué de l’algèbre symétrique du module $\Omega _{A/k}$ des différentielles de $A$ sur $k$, qui a une structure canonique de puissances divisées. (2) Il existe un morphisme canonique $\vartheta $ de l’algèbre des puissances divisées du module des dérivations $k$-linéaires et intégrables dans le sens de Hasse-Schmidt de $A$ vers $\rm {gr}\,D$. (3) Les morphismes $\theta $ et $\vartheta $ forment partie d’un diagramme commutatif canonique.

Abstract

Let $k$ be a commutative ring, $A$ a commutative $k$-algebra and $D$ the filtered ring of $k$-linear differential operators of $A$. We prove that: (1) The graded ring $\rm {gr}\,D$ admits a canonical embedding $\theta $ into the graded dual of the symmetric algebra of the module $\Omega _{A/k}$ of differentials of $A$ over $k$, which has a canonical divided power structure. (2) There is a canonical morphism $\vartheta $ from the divided power algebra of the module of $k$-linear Hasse–Schmidt integrable derivations of $A$ to $\rm {gr}\,D$. (3) Morphisms $\theta $ and $\vartheta $ fit into a canonical commutative diagram.

Détail

Publié le : 2009-01-01

MR 2649344 | Zbl 1184.13076

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2513
Classification:  13N15,  13N10
Mots clés: dérivation, dérivation intégrable, opérateur différentiel, structure de puissances divisées

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