Resolvent at low energy and Riesz transform for Schrödinger operators on asymptotically conic manifolds. II

[Résolvante à basse énergie et transformée de Riesz pour l’opérateur de Schrödinger sur des variétés asymptotiquement coniques. II]

Guillarmou, Colin ; Hassell, Andrew

Annales de l'Institut Fourier, Tome 59 (2009), p. 1553-1610 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $M^\circ $ une variété complète de dimension $n\ge 3$ et $g$ une métrique asymptotiquement conique sur $M^\circ $, au sens où $M^\circ $ se compactifie en une variété à bord $M$ telle que $g$ soit une métrique de type “scattering” sur $M$. On étudie le noyau intégral de la résolvante $(P + k^2)^{-1}$ et la transformée de Riesz $T$ de l’opérateur $P = \Delta _g + V$, où $\Delta _g$ est le laplacien positif associé à $g$ et $V$ un potentiel réel, lisse sur $M$ et s’annulant au bord.

Dans le premier article nous avons supposé que $0$ n’est ni résonance ni valeur propre pour $P$ et montré (i) que le noyau de la résolvante est conormal polyhomogène sur une version éclatée de $M^2 \times [0, k_0]$, et (ii) que $T$ est borné sur $L^p(M^\circ )$ pour $1 < p < n$, ce qui optimal sauf si $V \equiv 0$ ou bien $M^\circ $ a seulement un bout.

Dans le présent article, on effectue une analyse similaire tout en autorisant les cas où $0$ est résonance ou valeur propre. On montre là encore (sauf si $n=4$ et $0$ est résonance) que le noyau de la résolvante est polyhomogène sur le même espace, et on donne l’intervalle de $p$ (génériquement $n/(n-2) < p < n/3$) pour lequel $T$ est borné sur $L^p(M)$ quand $0$ est valeur propre.

Abstract

Let $M^\circ $ be a complete noncompact manifold of dimension at least 3 and $g$ an asymptotically conic metric on $M^\circ $, in the sense that $M^\circ $ compactifies to a manifold with boundary $M$ so that $g$ becomes a scattering metric on $M$. We study the resolvent kernel $(P + k^2)^{-1}$ and Riesz transform $T$ of the operator $P = \Delta _g + V$, where $\Delta _g$ is the positive Laplacian associated to $g$ and $V$ is a real potential function smooth on $M$ and vanishing at the boundary.

In our first paper we assumed that $P$ has neither zero modes nor a zero-resonance and showed (i) that the resolvent kernel is polyhomogeneous conormal on a blown up version of $M^2 \times [0, k_0]$, and (ii) $T$ is bounded on $L^p(M^\circ )$ for $1 < p < n$, which range is sharp unless $V \equiv 0$ and $M^\circ $ has only one end.

In the present paper, we perform a similar analysis allowing zero modes and zero-resonances. We show once again that (unless $n=4$ and there is a zero-resonance) the resolvent kernel is polyhomogeneous on the same space, and we find the precise range of $p$ (generically $n/(n-2) < p < n/3$) for which $T$ is bounded on $L^p(M)$ when zero modes are present.

Détail

Publié le : 2009-01-01

MR 2566968 | Zbl 1175.58011 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2471
Classification:  58J50,  42B20,  35J10
Mots clés: variété asymptotiquement conique, métrique scattering, noyau de la résolvante, asymptotique à basse énergie, transformée de Riesz, zéro-résonance

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