Vanishing of the first reduced cohomology with values in an $L^p$-representation

[Annulation de la cohomologie réduite en degré 1 à valeurs dans une représentation sur un espace $L^p$]

Tessera, Romain

Annales de l'Institut Fourier, Tome 59 (2009), p. 851-876 / Harvested from Numdam

Résumé

Nous prouvons que pour une classe de groupes moyennables, incluant tous les groupes moyennables de Lie connexes, la cohomologie réduite en degré $1$ à valeurs dans une représentation mélangeante sur un espace $L^p$, pour $p>1$, est nulle. En particulier, cela démontre pour cette classe de groupes moyennables une conjecture de Gromov s’appliquant à tous les groupes de type fini moyennables. Nous obtenons également la version “de Lie” de cette conjecture, qui avait été formulée par Pansu. Nous montrons par ailleurs qu’un espace métrique hyperbolique possédant un arbre $3$-regulier quasi-isométriquement plongé a un premier groupe de cohomologie $L^p$ réduite non trivial pour $p$ assez grand. Finalement, en combinant nos résultats avec ceux de Pansu, nous obtenons une caractérisation des variétés riemanniennes homogènes hyperboliques au sens de Gromov : ce sont celles qui possèdent de la cohomologie $L^p$ réduite en degré $1$ pour $p$ assez grand.

Abstract

We prove that the first reduced cohomology with values in a mixing $L^p$-representation, $1<p<\infty $, vanishes for a class of amenable groups including connected amenable Lie groups. In particular this solves for this class of amenable groups a conjecture of Gromov saying that every finitely generated amenable group has no first reduced $\ell ^p$-cohomology. As a byproduct, we prove a conjecture by Pansu. Namely, the first reduced $L^p$-cohomology on homogeneous, closed at infinity, Riemannian manifolds vanishes. We also prove that a Gromov hyperbolic geodesic metric measure space with bounded geometry admitting a bi-Lipschitz embedded 3-regular tree has non-trivial first reduced $L^p$-cohomology for large enough $p$. Combining our results with those of Pansu, we characterize Gromov hyperbolic homogeneous manifolds: these are the ones having non-zero first reduced $L^p$-cohomology for some $1<p<\infty .$

Détail

Publié le : 2009-01-01

MR 2521437 | Zbl pre05549010

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2449
Classification:  20F65,  22F30
Mots clés: cohomologie $L^p$ réduite, groupes moyennables, suite de Folner, espace métriques hyperboliques, variétés riemanniennes homogènes

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