On $q$-summation and confluence

Di Vizio, Lucia; Zhang, Changgui

q

-summation and confluence
[

q

-sommation et confluence]

Di Vizio, Lucia ; Zhang, Changgui

Annales de l'Institut Fourier, Tome 59 (2009), p. 347-392 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Cet article est divisé en deux parties. Dans la première partie, nous étudions un $q$ -analogue convergent de la série d’Euler, pour $q \in] 0, 1 [$ , et nous prouvons que la somme de Borel d’une série Gevrey générique, solution d’une équation différentielle, peut être approchée uniformément, sur un secteur convenable, par la solution méromorphe d’une équation aux $q$ -différences associée. Dans la deuxième partie, nous travaillons sous l’hypothèse $q \in] 1, + \infty [$ . Dans ce cas, au moins quatre notions différentes de $q$ -sommations ont été introduites dans la littérature : nous clarifions, sous des hypothèses raisonnables, les relations entre ces notions.

This paper is divided in two parts. In the first part we study a convergent $q$ -analog of the divergent Euler series, with $q \in (0, 1)$ , and we show how the Borel sum of a generic Gevrey formal solution to a differential equation can be uniformly approximated on a convenient sector by a meromorphic solution of a corresponding $q$ -difference equation. In the second part, we work under the assumption $q \in (1, + \infty)$ . In this case, at least four different $q$ -Borel sums of a divergent power series solution of an irregular singular analytic $q$ -difference equations are spread in the literature: under convenient assumptions we clarify the relations among them.

Publié le : 2009-01-01

MR 2514868 | Zbl 1175.34111 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2433
Classification: 34M30, 39A13, 33D05
Mots clés: sommation, confluence, équations aux

q

-différences, série d’Euler

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     author = {Di Vizio, Lucia and Zhang, Changgui},
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Di Vizio, Lucia; Zhang, Changgui. On $q$-summation and confluence. Annales de l'Institut Fourier, Tome 59 (2009) pp. 347-392. doi : 10.5802/aif.2433. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_2009__59_1_347_0/

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