Extensions de valuation et polygone de Newton

Vaquié, Michel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008), p. 2503-2541 / Harvested from Numdam

Résumé

Soient $(K,\nu )$ un corps valué et $L$ est une extension monogène finie de $K$ définie par $L=K[x]/(P)$, alors toute valuation de $L$ qui prolonge $\nu $ définit une pseudo-valuation $\zeta $ de $K[x]$ de noyau l’idéal $(P)$. Nous savons associer à $\zeta $ une famille de valuations de $K[x]$, appelée famille admissible, construite de façon explicite à partir de valuations augmentées et de valuations augmentées limites.

Nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour qu’une valuation $\mu $ de $K[x]$ appartienne à la famille admissible associée à une pseudo-valuation $\zeta $ correspondant à une valuation de $L$, condition ne faisant pas intervenir $\zeta $ mais uniquement le polynôme $P$. Nous pouvons ainsi déterminer toutes les valuations de $L$ qui prolongent la valuation $\nu $ de $K$. Pour cela nous définissons le polygone de Newton associé à $P$, à un polynôme $\phi $ et à une valuation $\mu $, à partir du développement de $P$ selon les puissances de $\phi $.

Abstract

Let $(K,\nu )$ be a valued field and $L$ a finite cyclic extension of $K$ defined by $L=K[x]/(P)$, then any valuation of $L$ which extends $\nu $ defines a pseudo-valuation $\zeta $ on $K[x]$ whose kernel is the principal ideal $(P)$. We know how to associate to $\zeta $ a family of valuations on $K[x]$, called an admissible family, which is explicitely constructed by augmented valuations and limit augmented valuations.

We give a necessary and sufficient condition for a valuation of $K[x]$ to belong to an admissible family associated to a pseudo-valuation $\zeta $ which corresponds to a valuation of $L$, this condition depends only on the polynomial $P$. On the way we can determine all the valuations of $L$ which extend the valuation $\nu $ of $K$. To give this condition we define the Newton polygon associated to $P$, to a polynomial $\phi $ and to a valuation $\mu $ of $K[x]$.

Détail

Publié le : 2008-01-01

MR 2498358 | Zbl 1170.13003 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2421
Classification:  13A18,  12J10,  14E15
Mots clés: valuation, extension, polygone de Newton

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