Integral representation of the $n$-th derivative in de Branges-Rovnyak spaces and the norm convergence of its reproducing kernel

[Représentation intégrale pour la dérivée $n$-ième des fonctions de l’espace de de Branges-Rovnyak et la convergence en norme de son noyau reproduisant]

Fricain, Emmanuel ; Mashreghi, Javad

Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008), p. 2113-2135 / Harvested from Numdam

Résumé

Dans cet article, nous donnons une formule intégrale pour la valeur au bord des dérivées des fonctions de l’espace de de Branges-Rovnyak $\mathcal{H}(b)$, où $b$ est une fonction dans la boule unité de $H^\infty (\mathbb{C}_+)$. En particulier, nous généralisons un résultat d’Ahern-Clark obtenu pour les fonctions de l’espace modèle $K_b$, où $b$ est une fonction intérieure. En utilisant les séries hypergéométriques, nous obtenons une formule non-triviale de combinatoire concernant la somme de coefficients binômiaux. Puis, nous appliquons cette formule pour démontrer que le noyau reproduisant $k_{\omega ,n}^b$, correspondant à l’évaluation de la dérivée $n$-ième des fonctions de $\mathcal{H}(b)$ au point $\omega $, converge en norme lorsque $\omega $ tend radialement vers un point de l’axe réel.

Abstract

In this paper, we give an integral representation for the boundary values of derivatives of functions of the de Branges–Rovnyak spaces $\mathcal{H}(b)$, where $b$ is in the unit ball of $H^\infty (\mathbb{C}_+)$. In particular, we generalize a result of Ahern–Clark obtained for functions of the model spaces $K_b$, where $b$ is an inner function. Using hypergeometric series, we obtain a nontrivial formula of combinatorics for sums of binomial coefficients. Then we apply this formula to show the norm convergence of reproducing kernel $k_{\omega ,n}^b$ of evaluation of the $n$-th derivative of elements of $\mathcal{H}(b)$ at the point $\omega $ as it tends radially to a point of the real axis.

Détail

Publié le : 2008-01-01

MR 2473631 | Zbl 1159.46016

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2408
Classification:  46E22,  47A15,  33C05,  05A19
Mots clés: espaces de Branges-Rovnyak, sous-espaces modèle de $H^2$, représentation intégrale, fonctions hypergéométriques

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