New models for the action of Hecke operators in spaces of Maass wave forms

[Des modèles nouveaux pour l’action des opérateurs de Hecke dans les espaces des formes d’onde de Maass]

Kiming, Ian

Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007), p. 1863-1882 / Harvested from Numdam

Résumé

En utilisant la théorie de la transformation de Poisson on obtient des modèles concrets nouveaux de la théorie de Hecke dans un espace $M_{\lambda }(N)$ de formes d’onde de Maass avec la valeur propre $1/4-\lambda ^2$ sur un sous-groupe de congruence $\Gamma _1(N)$. On introduit le corps $F_{\lambda } = \mathbb{Q} (\lambda ,\sqrt{n} , n^{\lambda /2} \mid ~n\in \mathbb{N} )$ qui est constitué exclusivement des nombres algébriques si $\lambda = 0$.

Le résultat principal est le suivant. Si $\Phi = (\nu _p \mid p\nmid N)$ est un paquet de valeurs propres de Hecke apparaissant dans $M_{\lambda }(N)$ alors ou bien chaque $\nu _p$ est algébrique sur $F_{\lambda }$ ou bien il y a un nombre $m\in {\mathbb{N}}$ tel que $\Phi $ apparaît dans le premier groupe de cohomologie d’un certain espace $W_{\lambda ,m}$ de fonctions continues sur le cercle unité avec une action de $\mathrm{SL}_2({\mathbb{R}})$ bien connue dans la théorie des représentations principales (non-unitaires) de $\mathrm{SL}_2({\mathbb{R}})$.

Abstract

Utilizing the theory of the Poisson transform, we develop some new concrete models for the Hecke theory in a space $M_{\lambda }(N)$ of Maass forms with eigenvalue $1/4-\lambda ^2$ on a congruence subgroup $\Gamma _1(N)$. We introduce the field $F_{\lambda } = \mathbb{Q} (\lambda ,\sqrt{n} , n^{\lambda /2} \mid ~n\in \mathbb{N} )$ so that $F_{\lambda }$ consists entirely of algebraic numbers if $\lambda = 0$.

The main result of the paper is the following. For a packet $\Phi = (\nu _p \mid p\nmid N)$ of Hecke eigenvalues occurring in $M_{\lambda }(N)$ we then have that either every $\nu _p$ is algebraic over $F_{\lambda }$, or else $\Phi $ will – for some $m\in \mathbb{N}$ – occur in the first cohomology of a certain space $W_{\lambda ,m}$ which is a space of continuous functions on the unit circle with an action of $\mathrm{SL}_2({\mathbb{R}})$ well-known from the theory of (non-unitary) principal representations of $\mathrm{SL}_2({\mathbb{R}})$.

Détail

Publié le : 2007-01-01

MR 2377889 | Zbl pre05225866

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2316
Classification:  11F70,  11R39,  22E50
Mots clés: formes d’ondes de Maass, opérateurs de Hecke, valeurs propres de Hecke, transformation de Poisson.

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