Foncteurs de division et structure de $I^{\otimes 2}\otimes \Lambda ^n$ dans la catégorie $\mathcal{F}$

Djament, Aurélien

Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007), p. 1771-1823 / Harvested from Numdam

Résumé

Nous démontrons que dans la catégorie ${\mathcal{F}}$ des foncteurs entre espaces vectoriels sur ${\mathbb{F}}_2$, le produit tensoriel entre le second foncteur injectif standard non constant $V\mapsto {\mathbb{F}}_2^{(V^*)^{\oplus 2}}$ et un foncteur puissance extérieure est artinien. Seul était antérieurement connu le caractère artinien de cet injectif ; notre résultat constitue une étape pour l’étude du troisième foncteur injectif standard non constant de ${\mathcal{F}}$.

Nous utilisons le foncteur de division par le foncteur identité et des considérations issues de la théorie des représentations modulaires des groupes symétriques pour obtenir ce théorème par la détection de facteurs de composition convenables.

Abstract

We prove that, in the category ${\mathcal{F}}$ of functors between ${\mathbb{F}}_2$-vector spaces, the tensor product between the second non constant standard injective functor $V\mapsto {\mathbb{F}}_2^{(V^*)^{\oplus 2}}$ and an exterior power functor is artinian. The only case known to date was the artinian character of this injective ; our result is a step in the study of the third non constant standard injective of ${\mathcal{F}}$.

We use the division functor by the identity functor and facts from modular representation theory of the symmetric groups to obtain this theorem by detecting suitable composition factors.

Détail

Publié le : 2007-01-01

MR 2377886 | Zbl 1132.18002 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2313
Classification:  18A25,  16P60,  20B30,  20C20,  20J99,  55S10
Mots clés: catégories de foncteurs, représentations modulaires, foncteurs de division, filtration de Krull

Bibliographie

[1] Djament, Aurélien Catégories de foncteurs en grassmanniennes (2006) (arXiv :math.AT/0610598)

[2] Djament, Aurélien Catégories de foncteurs en grassmanniennes et filtration de Krull (2006) (arXiv :math.RT/0611861)

[3] Djament, Aurélien Représentations génériques des groupes linéaires : catégories de foncteurs en grassmanniennes, avec applications à la conjecture artinienne, Université Paris 13 (2006) (Ph. D. Thesis)

[4] Franjou, Vincent Extensions entre puissances extérieures et entre puissances symétriques, J. Algebra, Tome 179 (1996) no. 2, pp. 501-522 | Article | MR 1367860 | Zbl 0841.55012

[5] Franjou, Vincent; Friedlander, Eric M.; Scorichenko, Alexander; Suslin, Andrei General linear and functor cohomology over finite fields, Ann. of Math. (2), Tome 150 (1999) no. 2, pp. 663-728 | Article | MR 1726705 | Zbl 0952.20035

[6] Gabriel, Pierre Des catégories abéliennes, Bull. Soc. Math. France, Tome 90 (1962), pp. 323-448 | Numdam | MR 232821 | Zbl 0201.35602

[7] Henn, Hans-Werner; Lannes, Jean; Schwartz, Lionel The categories of unstable modules and unstable algebras over the Steenrod algebra modulo nilpotent objects, Amer. J. Math., Tome 115 (1993) no. 5, pp. 1053-1106 | Article | MR 1246184 | Zbl 0805.55011

[8] James, G. D. The representation theory of the symmetric groups, Springer, Berlin, Lecture Notes in Mathematics, Tome 682 (1978) | MR 513828 | Zbl 0393.20009

[9] Kuhn, Nicholas J. Generic representations of the finite general linear groups and the Steenrod algebra. I, Amer. J. Math., Tome 116 (1994) no. 2, pp. 327-360 | Article | MR 1269607 | Zbl 0813.20049

[10] Kuhn, Nicholas J. Generic representations of the finite general linear groups and the Steenrod algebra. II, $K$-Theory, Tome 8 (1994) no. 4, pp. 395-428 | Article | MR 1300547 | Zbl 0830.20065

[11] Lannes, Jean Sur les espaces fonctionnels dont la source est le classifiant d’un $p$-groupe abélien élémentaire, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1992) no. 75, pp. 135-244 (avec un appendice de Michel Zisman) | Article | Numdam | Zbl 0857.55011

[12] Macdonald, I. G. Symmetric functions and Hall polynomials, The Clarendon Press Oxford University Press, New York, Oxford Mathematical Monographs (1995) (With contributions by A. Zelevinsky, Oxford Science Publications) | MR 1354144 | Zbl 0487.20007

[13] Piriou, Laurent Extensions entre foncteurs de la catégorie des espaces vectoriels sur le corps premier à $p$ éléments dans elle-même, Université Paris 7 (1995) (Ph. D. Thesis)

[14] Piriou, Laurent Sous-objets de $\overline{I}\otimes \Lambda ^n$ dans la catégorie des foncteurs entre $\mathbf F_2$-espaces vectoriels, J. Algebra, Tome 194 (1997) no. 1, pp. 53-78 | Article | MR 1461482 | Zbl 0880.18008

[15] Piriou, Laurent; Schwartz, Lionel Extensions de foncteurs simples, $K$-Theory, Tome 15 (1998) no. 3, pp. 269-291 | Article | MR 1659961 | Zbl 0918.20036

[16] Powell, Geoffrey M. L. The Artinian conjecture for $I^{\otimes 2}$, J. Pure Appl. Algebra, Tome 128 (1998) no. 3, pp. 291-310 (With an appendix by Lionel Schwartz) | Article | MR 1626361 | Zbl 0928.18004

[17] Powell, Geoffrey M. L. Polynomial filtrations and Lannes’ $T$-functor, $K$-Theory, Tome 13 (1998) no. 3, pp. 279-304 | Article | Zbl 0892.55009

[18] Powell, Geoffrey M. L. The structure of indecomposable injectives in generic representation theory, Trans. Amer. Math. Soc., Tome 350 (1998) no. 10, pp. 4167-4193 | Article | MR 1458333 | Zbl 0903.18006

[19] Powell, Geoffrey M. L. On Artinian objects in the category of functors between $\mathbf F_2$-vector spaces, Infinite length modules (Bielefeld, 1998), Birkhäuser, Basel (Trends Math.) (2000), pp. 213-228 | MR 1789217 | Zbl 01574533

[20] Powell, Geoffrey M. L. The structure of the tensor product of $\mathbf F_2[-]$ with a finite functor between $\mathbf F_2$-vector spaces, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Tome 50 (2000) no. 3, pp. 781-805 | Article | Numdam | MR 1779894 | Zbl 0958.18006

[21] Schwartz, Lionel Unstable modules over the Steenrod algebra and Sullivan’s fixed point set conjecture, University of Chicago Press, Chicago, IL, Chicago Lectures in Mathematics (1994) | Zbl 0871.55001