Embedding subsets of tori Properly into $\mathbb{C}^2$

[Plongement propre dans $\mathbb{C}^2$ de sous-ensembles de tores]

Wold, Erlend Fornæss

Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007), p. 1537-1555 / Harvested from Numdam

Résumé

Nous avons fait des progrès sur le problème du plongement des surfaces de Riemann ouvertes dans $\mathbb{C}^{2}$. Il est connu que pour tout entier naturel $d\ge 2$, le nombre $N_{d}:=\left[\frac{3d}{2}\right]+1$ est le plus petit entier naturel pour lequel il existe un plongement propre de toute variété de Stein de dimension $d$ dans $\mathbb{C}^{N_{d}}$. Le problème du plongement propre des variétés de Stein de dimension 1 dans $\mathbb{C}^{2}$ reste ouvert (il existe du plongement propre dans $\mathbb{C}^{3}$). Dans ce texte nous prouvons le résultat suivant  : soit $\mathbb{T}$ un tore complexe de dimension 1  ; alors il existe un plongement propre de toute partie de $\mathbb{T}$, dont la frontière a un nombre fini de composantes (aucune d’elle n’étant un point), dans $\mathbb{C}^{2}$. Nous prouvons aussi que les algèbres de fonctions analytiques sur certaines surfaces de Riemann sont doublement générées.

Abstract

Let $\mathbb{T}$ be a complex one-dimensional torus. We prove that all subsets of $\mathbb{T}$ with finitely many boundary components (none of them being points) embed properly into $\mathbb{C}^2$. We also show that the algebras of analytic functions on certain countably connected subsets of closed Riemann surfaces are doubly generated.

Détail

Publié le : 2007-01-01

MR 2364141 | Zbl 1149.32015

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2305
Classification:  32H35,  30F99
Mots clés: plongements holomorphiques, surfaces de Riemann

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