The Drinfeld Modular Jacobian $J_1(n)$ has connected fibers

Shastry, Sreekar M.

The Drinfeld Modular Jacobian

J_{1} (n)

has connected fibers
[La courbe modulaire jacobienne de Drinfeld

J_{1} (n)

a des fibres connexes]

Shastry, Sreekar M.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007), p. 1217-1252 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Nous étudions le modèle intégral de la courbe modulaire $X_{1} (n)$ de Drinfeld pour un élément irreductible $n \in 𝔽_{q} [T]$ . Un analogue du corps de fonctions de la théorie des courbes d’Igusa est introduit pour décrire sa réduction mod $n$ . Un résultat décrivant l’anneau universel de déformation d’une paire se composant d’un module de Drinfeld supersingulier et d’un point d’ordre $n$ en termes de l’invariant de Hasse de ce module de Drinfeld est prouvé. Nous appliquons alors la résolution de Jung-Hirzebruch afin que les surfaces arithmétiques produisent un modèle régulier de $X_{1} (n)$ qui, après des contractions dans la fibre spéciale, donne un modèle régulier tel que la fibre au-dessus de $n$ est géométriquement intègre. Ainsi, la réduction mod $n$ du groupe des composants de $J_{1} (n)$ est triviale, c’est-à-dire les fibres de $J_{1} (n)$ sont connexes.

We study the integral model of the Drinfeld modular curve $X_{1} (n)$ for a prime $n \in 𝔽_{q} [T]$ . A function field analogue of the theory of Igusa curves is introduced to describe its reduction mod $n$ . A result describing the universal deformation ring of a pair consisting of a supersingular Drinfeld module and a point of order $n$ in terms of the Hasse invariant of that Drinfeld module is proved. We then apply Jung-Hirzebruch resolution for arithmetic surfaces to produce a regular model of $X_{1} (n)$ which, after contractions in the special fiber, gives a regular model with geometrically integral fiber over $n$ . Thus the mod $n$ component group of $J_{1} (n)$ is trivial, i.e. $J_{1} (n)$ has connected fibers.

Publié le : 2007-01-01

MR 2339330 | Zbl 1165.11047

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2292
Classification: 11F52, 14H40, 14L05, 11G09
Mots clés: Groupes composants, courbes modulaires de Drinfeld, courbes de Igusa

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Shastry, Sreekar M. The Drinfeld Modular Jacobian $J_1(n)$ has connected fibers. Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) pp. 1217-1252. doi : 10.5802/aif.2292. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_2007__57_4_1217_0/

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