On Halphen’s Theorem and some generalizations

[Sur un théorème de Halphen et quelques généralisations]

Lins Neto, Alcides

Annales de l'Institut Fourier, Tome 56 (2006), p. 1947-1982 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $M^n$ un germe en $0\in \mathbb{C}^m$ d’ensemble analytique irréductible de dimension $n$, où $n\ge 2$ et $0$ est un point singulier de $M$. Nous étudions le problème suivant  : quand est-ce qu’il existe un germe d’application holomorphe $\phi \colon (\mathbb{C}^m,0) \rightarrow (M,0)$ telle que $\phi ^{-1}(0)=\lbrace 0\rbrace $  ? Nous démontrons essentiellement trois résultats. Dans le théorème 1 nous considérons le cas où $M$ est une intersection complète quasi-homogène de $k$ polynômes $F=(F_1,\ldots ,F_k)$, c’est-à-dire il existe un champ de vecteurs linéaire holomorphe $X$ dans $\mathbb{C}^m$, avec valeurs propres $\lambda _1,\ldots ,\lambda _m\in \mathbb{Q}_+$ telles que $X(F^T)=U\cdotpF^T$, où $U$ est une matrice $k\times k$ d’éléments dans $\mathcal{O}_m$. Nous démontrons que s’il existe un germe d’application $\phi $ comme précédemment et $\dim _\mathbb{C}({\rm sing}(M))\le n-2$ alors $\lambda _1+\cdots +\lambda _m>{\rm Re}({\rm tr}(U))(0)$. Dans le théorème 2 nous répondons complètement à la question quand $n=2$, $k=1$ et $0$ est une singularité isolée de $M$. Dans le théorème 3 nous démontrons que, s’il existe une application $\phi $ comme précédemment, $k=1$ et $\dim _\mathbb{C}({\rm sing}(M))\le n-2$, alors $\dim _\mathbb{C}({\rm sing}(M))= n-2$. Remarquons que les théorèmes 1 et 2 sont des généralisations de quelques résultats de Halphen.

Abstract

Let $M^n$ be a germ at $0\in \mathbb{C}^{m}$ of an irreducible analytic set of dimension $n$, where $n\ge 2$ and $0$ is a singular point of $M$. We study the question: when does there exist a germ of holomorphic map $\phi \colon (\mathbb{C}^n,0)\rightarrow (M,0)$ such that $\phi ^{-1}(0)=\lbrace 0\rbrace $ ? We prove essentialy three results. In Theorem 1 we consider the case where $M$ is a quasi-homogeneous complete intersection of $k$ polynomials $F=(F_1,\ldots ,F_k)$, that is there exists a linear holomorphic vector field $X$ on $\mathbb{C}^{m}$, with eigenvalues $\lambda _1,\ldots ,\lambda _{m}\in \mathbb{Q}_+$ such that $X(F^T)= U\cdotpF^T$, where $U$ is a $k\times k$ matrix with entries in $\mathcal{O}_{m}$. We prove that if there exists a germ of holomorphic map $\phi $ as above and $\dim _{\mathbb{C}}({\rm sing} (M))\le n-2$, then $\lambda _1+\cdots +\lambda _{m}> {\rm Re}({\rm tr}(U)(0))$. In Theorem 2 we answer the question completely when $n=2$, $k=1$ and $0$ is an isolated singularity of $M$. In Theorem 3 we prove that, if there exists a map as above, $k=1$ and $\dim _{\mathbb{C}}({\rm sing} (M))\le n-2$, then $\dim _{\mathbb{C}}({\rm sing}(M))= n-2$. We observe that Theorems 1 and 2 are generalizations of some results due to Halphen.

Détail

Publié le : 2006-01-01

MR 2282679 | Zbl 1112.32011

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2231
Classification:  32S05,  32S25
Mots clés: théorème de Halphen, quasi-homogène, intersection complète

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