Subharmonicity properties of the Bergman kernel and some other functions associated to pseudoconvex domains

[Sous-harmonicité du noyau de Bergman et d’autres fonctions associées à des domaines pseudoconvexes]

Berndtsson, Bo

Annales de l'Institut Fourier, Tome 56 (2006), p. 1633-1662 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $D$ un domaine pseudoconvexe en $\mathbb{C}^k_t\times \mathbb{C}^n_z$ et soit $\phi $ une fonction plurisousharmonique dans $D$. Pour $t$ fixé, soit $D_t=\lbrace z; (t,z)\in D\rbrace $ la tranche correspondante de $D$, $\phi ^t$ la restriction de $\phi $ à $D_t$, et $K_t(z,\zeta )$ le noyau de Bergman pour le domaine $D_t$ et le poid $\phi ^t$. En généralisant un résultat récent de Maitani et Yamaguchi (correspondant à $n=1$ et $\phi =0$), on montre que $\log K_t(z,z)$ est plurisousharmonique en $D$. On donne aussi une généralisation d’un résultat de Yamaguchi concernant la fonction de Robin et on discute des résultats du même style pour $\mathbb{R}^n$.

Abstract

Let $D$ be a pseudoconvex domain in $\mathbb{C}^k_t\times \mathbb{C}^n_z$ and let $\phi $ be a plurisubharmonic function in $D$. For each $t$ we consider the $n$-dimensional slice of $D$, $D_t=\lbrace z; (t,z)\in D\rbrace $, let $\phi ^t$ be the restriction of $\phi $ to $D_t$ and denote by $K_t(z,\zeta )$ the Bergman kernel of $D_t$ with the weight function $\phi ^t$. Generalizing a recent result of Maitani and Yamaguchi (corresponding to $n=1$ and $\phi =0$) we prove that $\log K_t(z,z)$ is a plurisubharmonic function in $D$. We also generalize an earlier results of Yamaguchi concerning the Robin function and discuss similar results in the setting of $\mathbb{R}^n$.

Détail

Publié le : 2006-01-01

MR 2282671 | Zbl 1120.32021

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2223
Classification:  32A25
Mots clés: espace de Bergman, fonction plurisousharmonique, équation $\bar{\partial }$, nombre de Lelong

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