Orthogonal bundles on curves and theta functions

[Fibrés orthogonaux sur les courbes et fonctions thêta]

Beauville, Arnaud

Annales de l'Institut Fourier, Tome 56 (2006), p. 1405-1418 / Harvested from Numdam

Résumé

Soient $\mathcal{M}$ l’espace des modules des fibrés $\mathrm{SO}_r$-principaux sur une courbe $C$, et $\mathcal{L}$ le fibré déterminant sur $\mathcal{M}$. Nous définissons un isomorphisme de $H^0(\mathcal{M},\mathcal{L})$ sur le dual de l’espace des fonctions thêta du $r$-ième ordre sur la Jacobienne de $C$. Cet isomorphisme identifie l’application rationnelle $\mathcal{M}\dasharrow|\mathcal{L}|^*$ définie par le système linéaire $|\mathcal{L}|$ avec l’application $\mathcal{M}\dasharrow|r \Theta |$ qui associe à un fibré quadratique $(E,q)$ le diviseur thêta $\Theta _E$. Les deux composantes $\mathcal{M}^+$ et $\mathcal{M}^-$ de $\mathcal{M}$ sont envoyées sur les sous-espaces de fonctions paires et impaires respectivement. Finalement nous discutons le problème analogue pour les fibrés symplectiques.

Abstract

Let $\mathcal{M}$ be the moduli space of principal $\mathrm{SO}_r$-bundles on a curve $C$, and $\mathcal{L}$ the determinant bundle on $\mathcal{M}$. We define an isomorphism of $H^0(\mathcal{ M},\mathcal{L})$ onto the dual of the space of $r$-th order theta functions on the Jacobian of $C$. This isomorphism identifies the rational map $\mathcal{M}\dasharrow|\mathcal{L}|^*$ defined by the linear system $|\mathcal{L}|$ with the map $\mathcal{M}\dasharrow|r \Theta |$ which associates to a quadratic bundle $(E,q)$ the theta divisor $\Theta _E$. The two components $\mathcal{M}^+$ and $\mathcal{M}^-$ of $\mathcal{ M}$ are mapped into the subspaces of even and odd theta functions respectively. Finally we discuss the analogous question for $\mathrm{Sp}_{2r}$-bundles.

Détail

Publié le : 2006-01-01

MR 2273860 | Zbl 1114.14021

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2216
Classification:  14H60
Mots clés: fibrés principaux, fibrés orthogonaux, fibrés symplectiques, diviseurs thêta, fonctions thêta généralisées, formule de Verlinde, dualité étrange

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