Propagation et réflexion des singularités pour l'équation de Schrödinger non linéaire
Szeftel, Jérémie
Annales de l'Institut Fourier, Tome 55 (2005), p. 573-671 / Harvested from Numdam
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Nous construisons un calcul paradifférentiel adapté à l'équation de Schrödinger qui nous permet de montrer un théorème de propagation des singularités pour l'équation de Schrödinger non linéaire en adaptant la méthode de Bony. Nous construisons également la version tangentielle du calcul précédent qui nous permet de montrer un théorème de réflexion transverse des singularités pour l'équation de Schrödinger non linéaire. Nous utilisons alors ce théorème pour calculer l'opérateur de Dirichlet-Neumann associé à l'équation de Schrödinger non linéaire.

We construct a paradifferential calculus well-suited to the Schrödinger equation which allows us to prove a result on propagation of singularities for the nonlinear Schrödinger equation by adapting Bony's method. We also construct the tangential version of the previous paradifferential calculus which allows us to prove a result on reflection of singularities for the nonlinear Schrödinger equation. We then use this result to compute the Dirichlet to Neumann map of the nonlinear Schrödinger equation.

Publié le : 2005-01-01
DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2108
Classification:  35Q55,  35S50,  35A21
Mots clés: équation de Schrödinger non linéaire, calcul paradifférentiel, propagation et réflexion des singularités, opérateur de Dirichlet-Neumann 
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Szeftel, Jérémie. Propagation et réflexion des singularités pour l'équation de Schrödinger non linéaire. Annales de l'Institut Fourier, Tome 55 (2005) pp. 573-671. doi : 10.5802/aif.2108. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_2005__55_2_573_0/

[1] A. Alabidi Réflexion transverse des singularités pour un problème aux limites non linéaire d'ordre 2, C. R. A. S., série I-10, Tome 300 (1985) | MR 786901 | Zbl 0601.35005

[2] J.M. Bony Calcul symbolique et propagation des singularités pour les équations aux dérivées partielles non linéaires, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup (4e série), Tome 14 (1981), pp. 209-246 | Numdam | MR 631751 | Zbl 0495.35024

[3] L. Boutet De Monvel Propagation des Singularités des Solutions d'Équations Analogues à l'Équation de Schrödinger, Fourier integral operators and partial differential equations, Springer-Verlag, Berlin (Lecture Notes in Math.) Tome 459 (1975), pp. 1-14 | MR 423430 | Zbl 0305.35088

[4] J.Y. Chemin Fluides parfaits incompressibles (Astérisque) Tome 230 (1995) | MR 1340046 | Zbl 0829.76003

[5] H. Chihara Local existence for semi-linear Schrödinger equations, Math. Japonica, Tome 42 (1995), pp. 35-52 | MR 1344627 | Zbl 0834.35118

[6] J.M. Delort Existence globale et comportement asymptotique pour l'équation de Klein-Gordon quasilinéaire à données petites en dimension 1, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. (4e série), Tome 34 (2001), pp. 1-61 | Numdam | MR 1833089 | Zbl 0990.35119

[7] L. Hörmander Linear partial differential operators, Springer, Berlin Heidelberg (1969) | MR 248435

[8] L. Hörmander Lectures on nonlinear hyperbolic differential equations, Springer, Berlin Heidelberg (1997) | MR 1466700 | Zbl 0881.35001

[9] C. Kenig; G. Ponce; L. Vega Smoothing effects and local existence theory for the generalized nonlinear Schrödinger equations, Invent. Math., Tome 134 (1998) no. 3, pp. 489-545 | Article | MR 1660933 | Zbl 0928.35158

[10] R. Lascar Propagation des singularités des solutions d'équations pseudodifférentielles quasi-homogènes, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Tome 27 (1977), pp. 79-123 | Article | Numdam | MR 461592 | Zbl 0349.35079

[11] J.L. Lions; E. Magenes Problèmes aux limites non homogènes et applications, Dunod, Paris (1968) | Zbl 0165.10801

[12] Y. Meyer Remarques sur un théorème de J. M. Bony, Suppl. ai Rend. del Circolo mat. di Palermo (1981), pp. 1-20 | MR 639462 | Zbl 0473.35021

[13] M. Sablé-Tougeron Régularité microlocale pour des problèmes aux limites non linéaires, Ann. Inst. Fourier, Tome 36 (1986), pp. 39-82 | Article | Numdam | MR 840713 | Zbl 0577.35004

[14] J. Szeftel Réflexion des singularités pour l'équation de Schrödinger, Comm. Partial Differential Equations, Tome 29 (2004) no. 5-6, pp. 707-761 | Article | MR 2059146 | Zbl 1058.35070

[15] J. Szeftel Design of absorbing boundary conditions for Schrödinger equations in ℝ d , SIAM J. Numer. Anal., Tome 42 (2004) no. 4, pp. 1527-1551 | Article | MR 2114289 | Zbl 02139934

[16] J. Szeftel Microlocal dispersive smoothing for the nonlinear Schrödinger equation (2003) (Soumis) | Zbl 1094.35120

[17] J. Szeftel Absorbing boundary conditions for nonlinear Schrödinger equations (2004) (Soumis)