An obstruction to homogeneous manifolds being Kähler

[Une obstruction à l'existence de métriques kählériennes sur les espaces homogènes]

Gilligan, Bruce

Annales de l'Institut Fourier, Tome 55 (2005), p. 229-241 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $G$ un groupe de Lie complexe, $H$ un sous-groupe complexe fermé de $G$, et $X:=G/H$. Soit $R$ le radical et $S$ un sous-groupe semi-simple maximal de $G$. La construction d’exemples de variétés non compactes $X$ homogènes d’un produit semi-direct $G=S \ltimes R$, possédant une métrique kählérienne pas nécessairement invariante par $G$, a suscité ce travail. L’orbite $S/S\cap H$ de $S$ dans $X$ est kählérienne. Donc $S\cap H$ est un sous-groupe algébrique de $S$ [4]. La présence d’une structure kählérienne sur $X$ devrait impliquer que l’action de $S$ sur la base $Y$ de chaque fibration homogène $X \rightarrow Y$ soit algébrique. Des considérations naturelles permettent de se placer dans le cas d’un sous-groupe discret $H=\Gamma $ et d’une fibration homogène $X=G/\Gamma \rightarrow G/I =:Y$, où le sous-groupe $I^{\circ }$ est abélien et normal dans $G$ et la fibre $I^{\circ }/(I^{\circ }\cap \Gamma )$ est un groupe de Cousin. Une telle condition algébrique existe alors dans cet espace homogène $Y=\hat{G}/\hat{\Gamma }$, où $\hat{G}:=G/I^{\circ }$ et $\hat{\Gamma }:=I/I^{\circ }$. Ceci signifie que l’existence d’un élément $\hat{g}\in \hat{\Gamma }$ d’ordre infini appartenant à un sous-groupe semi-simple $\hat{S}$ de $\hat{G}$ est une obstruction à l’existence d’une métrique kählérienne sur $X$. Ainsi $X$ kählérien implique que $\hat{S}\cap \hat{\Gamma }$ fini.

Abstract

Let $G$ be a connected complex Lie group, $H$ a closed, complex subgroup of $G$ and $X:=G/H$. Let $R$ be the radical and $S$ a maximal semisimple subgroup of $G$. Attempts to construct examples of noncompact manifolds $X$ homogeneous under a nontrivial semidirect product $G=S \ltimes R$ with a not necessarily $G$-invariant Kähler metric motivated this paper. The $S$-orbit $S/S\cap H$ in $X$ is Kähler. Thus $S\cap H$ is an algebraic subgroup of $S$ [4]. The Kähler assumption on $X$ ought to imply the $S$-action on the base $Y$ of any homogeneous fibration $X \rightarrow Y$ is algebraic too. Natural considerations allow a reduction to the case where $H=\Gamma $ is a discrete subgroup and there is a homogeneous fibration $X=G/\Gamma \rightarrow G/I =:Y$ with $I^{\circ }$ an abelian, normal subgroup of $G$ and the fiber $I^{\circ }/(I^{\circ }\cap \Gamma )$ a Cousin group. An algebraic condition does hold in the homogeneous manifold $Y=\hat{G}/\hat{\Gamma }$, where $\hat{G}:=G/I^{\circ }$ and $\hat{\Gamma }:=I/I^{\circ }$, namely, an element $\hat{g}\in \hat{\Gamma }$ of infinite order lying in a semisimple subgroup $\hat{S}$ of $\hat{G}$ is an obstruction to the existence of a Kähler metric on $X$. So $X$ Kähler implies $\hat{S}\cap \hat{\Gamma }$ finite.

Détail

Publié le : 2005-01-01

MR 2141697 | Zbl 1070.32017

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2097
Classification:  32M10,  32Q15
Mots clés: espaces homogènes complexes, espaces kählériens

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