On $G$-disconnected injective models

[Sur les $G$-modèles injectifs non connexess]

Golasiński, Marek

Annales de l'Institut Fourier, Tome 53 (2003), p. 625-664 / Harvested from Numdam

Résumé

Si $G$ est un groupe fini, L.S. Scull a observé que la définition originale de la minimalité équivariante n’est pas correcte dans le cas $G$-connexe par suite d’une erreur concernant des propriétés algébriques. Dans le cas $G$-non connexe la catégorie des orbites ${\mathcal {O}}(G)$ a été remplacée par la catégorie ${\mathcal {O}}(G,X)$, avec un objet pour chaque composante des sous-ensembles simpliciaux de points fixes $X^H$ d’un ensemble $G$-simplicial $X$, pour tous les sous-groupes $H\subseteq G$. Nous redéfinissons la minimalité équivariante et nous redéveloppons des résultats d’homotopie rationnelle pour les ensembles $G$-simpliciaux non connexes. Pour montrer l’existence d’un modèle minimal injectif ${\mathcal {M}}_X$ pour un ensemble $G$-simplicial $X$ non connexe, nous remplaçons ${\mathcal {O}}(G,X)$ par la catégorie plus subtile ${\tilde{\mathcal {O}}}(G,X)$ avec un objet pour chaque 0-simplexe de sous-ensembles simpliciaux de points fixes $X^H$, par tous les sous- groupes $H\subseteq G$.

Abstract

Let $G$ be a finite group. It was observed by L.S. Scull that the original definition of the equivariant minimality in the $G$-connected case is incorrect because of an error concerning algebraic properties. In the $G$-disconnected case the orbit category ${\mathcal {O}}(G)$ was originally replaced by the category ${\mathcal {O}}(G,X)$ with one object for each component of each fixed point simplicial subsets $X^H$ of a $G$-simplicial set $X$, for all subgroups $H\subseteq G$. We redefine the equivariant minimality and redevelop some results on the rational homotopy theory of disconnected $G$-simplicial sets. To show an existence of the injective minimal model ${\mathcal {M}}_X$ for a disconnected $G$-simplicial set $X$ we replace ${\mathcal {O}}(G,X)$ by the more subtle category $\tilde{\mathcal {O}}(G,X)$ with one object for each 0-simplex of fixed point simplicial subsets $X^H$, for all subgroups $H\subseteq G$.

Détail

Publié le : 2003-01-01

MR 1990008 | Zbl 01940706

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1954
Classification:  55P62,  55P91,  16W80,  18G30
Mots clés: algèbre gradué différentiel, algèbre de de Rham, $EI$-catégorie, $i$-extension élémentaire, $i$-modèle minimal, $k$-modèle compact linéairement, tour de Postnikov, quasi-isomorphisme, rationalisation, ensemble simpliciel $G$

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