The Mumford-Tate group of 1-motives

[Le groupe de Mumford-Tate des 1-motifs]

Bertolin, Cristiana

Annales de l'Institut Fourier, Tome 52 (2002), p. 1041-1059 / Harvested from Numdam

Résumé

Dans cet article on étudie la structure et les dégénérescences du groupe de Mumford-Tate $MT(M)$ d’un 1-motif $M$ défini sur ${\mathbb {C}}$. Ce groupe est un ${\mathbb {Q}}$-groupe algébrique qui agit sur la réalisation de Hodge de $M$ et qui est muni d’une filtration croissante $W_\bullet $. On prouve que le radical unipotent de $MT(M)$, qui est $W_{-1} (MT(M))$, s’injecte dans un groupe de Heisenberg “généralisé”. Ensuite on explique comment se réduire à l’étude du groupe de Mumford-Tate d’une somme directe de 1-motifs dont le groupe des caractères du tore et dont le réseau sont de rang 1. Puis on classifie et on étudie les dégénérescences de $MT(M)$, i.e. les phénomènes qui causent la chute de la dimension de $MT(M)$.

Abstract

In this paper we study the structure and the degeneracies of the Mumford-Tate group $MT(M)$ of a 1-motive $M$ defined over ${\mathbb {C}}$. This group is an algebraic ${\mathbb {Q}}$- group acting on the Hodge realization of $M$ and endowed with an increasing filtration $W_\bullet $. We prove that the unipotent radical of $MT(M)$, which is $W_{-1}(MT(M))$, injects into a “generalized” Heisenberg group. We then explain how to reduce to the study of the Mumford-Tate group of a direct sum of 1-motives whose torus’character group and whose lattice are both of rank 1. Next we classify and we study the degeneracies of $MT(M)$, i.e., those phenomena which imply the decrement of the dimension of $MT(M)$.

Détail

Publié le : 2002-01-01

MR 1926672 | Zbl 1001.14017 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1910
Classification:  14L17,  11G99
Mots clés: 1-motifs, groupe de Mumford-Tate, dégénérescences, biextension de Poincaré

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