Degeneration of Schubert varieties of $SL_n/B$ to toric varieties

[Dégénérescence des variétés de Schubert de $SL_n/B$ en des variétés toriques]

Dehy, Raika ; Yu, Rupert W.T.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 51 (2001), p. 1525-1538 / Harvested from Numdam

Résumé

Dans cet article on montre la dégénérescence d’une large classe de variétés de Schubert dans $SL_n/B$ en des varietés toriques. Pour cela on utilise les résultats d’un article précédent, dans lequel pour chaque élément $w$, du groupe de Weyl, on construit $n-1$ polytopes $\Delta _1\ldots \Delta _{n-1}$ ayant la propriété suivante : le nombre des points à coordonnées entières dans $\sum k_i\Delta _i$ est la dimension, comme espace vectoriel sur ${\mathbb {C}}$, du module de Demazure $E_w(\sum k_iw_i)$, où les $w_i$ désignent les poids fondamentaux de $SL_n({\mathbb {C}})$. Or la donnée de $n-1$ polytopes est équivalente à la donnée d’une variété torique munie de $n-1$ fibrés en droite ${\mathcal {L}}_1\ldots {\mathcal {L}}_{n-1}$. L’objectif est de trouver une déformation plate de la variété de Schubert $S_w$, munie des fibrés en droites ${\mathcal {L}}_w$ en la variété torique $X$ munie des ${\mathcal {L}}_i$. La démonstration est basée sur un théorème dû à Gonciulea- Lakshmibai impliquant la construction d’un treillis distributif sur un sous-ensemble du groupe de Weyl. L’avantage de cette approche est que d’un côté l’algèbre associée à ce treillis est étroitement liée à la variété torique $X$ et de l’autre côté on sait comment dégénérer l’anneau des coordonnées homogènes sur $S_w$ en cette algèbre.

Abstract

Using the polytopes defined in an earlier paper, we show in this paper the existence of degeneration of a large class of Schubert varieties of $SL_{n}$ to toric varieties by extending the method used by Gonciulea and Lakshmibai for a miniscule $G/P$ to Schubert varieties in $SL_{n}$.

Détail

Publié le : 2001-01-01

MR 1870638 | Zbl 1017.14019

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1864
Classification:  14M15,  14M25,  06D05
Mots clés: variétés de Schubert, variétés toriques, déformations plates

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