Local Borcherds products

Bruinier, Jan Hendrik; Freitag, Eberhard

Local Borcherds products
[Produits de Borcherds locaux]

Bruinier, Jan Hendrik ; Freitag, Eberhard

Annales de l'Institut Fourier, Tome 51 (2001), p. 1-26 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

On calcule le groupe de Picard local en un point générique de la limite de Baily-Borel de dimension 1 d’un quotient symétrique hermitien de type $O (2, n)$ . Le principal ingrédient est une version locale des produits automorphes de Borcherds. Les obstructions locales pour qu’un diviseur de Heegner soit principal sont données par certaines séries thêta à des coefficients harmoniques. Elles engendrent dans certains cas l’espace de Borcherds des obstructions globales. Dans ces cas particuliers, nous obtenons une preuve simple d’un résultat dû au premier auteur : supposons que $Γ \subset O (2, n)$ soit le groupe orthogonal attaché à un réseau unimodulaire pair. Alors, chaque forme modulaire méromorphe pour $Γ$ , dont les zéros et les pôles s’étendent sur les diviseurs de Heegner, est donnée par un produit de Borcherds.

The local Picard group at a generic point of the one-dimensional Baily-Borel boundary of a Hermitean symmetric quotient of type $O (2, n)$ is computed. The main ingredient is a local version of Borcherds’ automorphic products. The local obstructions for a Heegner divisor to be principal are given by certain theta series with harmonic coefficients. Sometimes they generate Borcherds’ space of global obstructions. In these particular cases we obtain a simple proof of a result due to the first author: Suppose that $Γ \subset O (2, n)$ is the orthogonal group attached to an even unimodular lattice. Then every meromorphic modular form for $Γ$ , whose zeros and poles lie on Heegner divisors, is given by a Borcherds product.

Publié le : 2001-01-01

Zbl 0966.11021

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1812
Classification: 11F55, 14L35
Mots clés: formes automorphes, produit automorphe, group orthogonal, diviseur de Heegner, groupe de Picard local

@article{AIF_2001__51_1_1_0,
     author = {Bruinier, Jan Hendrik and Freitag, Eberhard},
     title = {Local Borcherds products},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     volume = {51},
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     pages = {1-26},
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     url = {http://dml.mathdoc.fr/item/AIF_2001__51_1_1_0}
}

Bruinier, Jan Hendrik; Freitag, Eberhard. Local Borcherds products. Annales de l'Institut Fourier, Tome 51 (2001) pp. 1-26. doi : 10.5802/aif.1812. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_2001__51_1_1_0/

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