Sur la stabilité des couches limites de viscosité

Serre, Denis

Annales de l'Institut Fourier, Tome 51 (2001), p. 109-130 / Harvested from Numdam

Résumé

Pour un système parabolique de lois de conservation, nous considérons le problème mixte, dans le domaine $x>0$. Pour une condition de Dirichlet, le système admet en général des solutions stationnaires $U(x)$, qui tendent vers une limite en $+\infty $. Ce sont les profils des couches limites, dans l’approximation du second ordre, pour le système hyperbolique du premier ordre sous-jacent. La stabilité de cette couche limite est liée à la stabilité linéaire asymptotique de $U$. On étudie celle-ci au moyen d’une fonction d’Evans, fonction holomorphe de $z$ (${\mathfrak {R}} z>0$), à valeurs réelles pour $z$ réel, qu’on peut prolonger analytiquement au voisinage de l’origine. Dans certains cas, il est possible de calculer sa valeur en $z=0$, de la relier à son signe près de l’infini, et d’en déduire la parité de l’ensemble des valeurs propres instables. En particulier, on construit explicitement une couche limite instable, ce qui éclaircit l’hypothèse de petitesse rencontrée dans les théorèmes de stabilité connus, dûs à Gisclon- Serre (1994) et Grenier-Guès (1998).

Abstract

We consider viscous systems of conservation laws, posed on a half-space $x>0$. The initial-boundary value problem, with a Dirichlet boundary data, may admit steady solutions which tend to some constant as $x\rightarrow +\infty $. Such a solution $U$ may be viewed as the profile of a boundary layer in the viscous approximation of the underlying first order system of conservation laws. The stability of this layer is closely tied with the linear asymptotic stability of $U$. To study this stability, we define a kind of Evans function. This is a holomorphic function defined on ${\mathfrak {R}} z>0$, which takes real values on the real axis and can be analytically extended to a neighbourhood of the origin. In some cases, we are able to compute its value for $z=0$, and to relate it to its signum near $+\infty $. Therefore we obtain an index in ${\mathbb {Z}}/2{\mathbb {Z}}$, which equals the parity of the set of unstable eigenvalues. This allows us to built explicit examples of unstable boundary layers. This explains the smallness assumption encountered by Gisclon-Serre (1994) and Grenier-Guès (1998), when proving stability theorems.

Détail

Publié le : 2001-01-01

MR 1821071 | Zbl 0963.35009 | 2 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1818
Classification:  35K50,  35P99,  35L65,  35L50,  35B25,  35B35
Mots clés: couches limites, fonction d'Evans

Bibliographie

[1] J. Alexander; R. Gardner; C. Jones A topological invariant arising in the stability analysis of travelling waves, J. Reine Angew. Math., Tome 410 (1990), pp. 167-212 | MR 1068805 | Zbl 0705.35070

[2] S. Benzoni; D. Serre; K. Zumbrun Alternate Evans functions and viscous shock waves (A paraître dans SIAM J. Math. Anal.) | Zbl 0985.34075

[3] M. Bultelle; M. Grassin; D. Serre Unstable Godunov discrete profiles for steady shock waves, SIAM J. Num. Anal., Tome 35 (1998), pp. 2272-2297 | Article | MR 1655846 | Zbl 0929.76083

[4] R. Gardner; K. Zumbrun The gap lemma and geometric criteria for instability of viscous shock profiles, Comm. Pure & Appl. Math., Tome 51 (1998), pp. 797-855 | Article | MR 1617251 | Zbl 0933.35136

[5] M. Gisclon Étude des conditions aux limites pour un système strictement hyperbolique via l'approximation parabolique, J. Math. Pures & Appl., Tome 75 (1996), pp. 485-508 | MR 1411161 | Zbl 0869.35061

[6] M. Gisclon; D. Serre Etude des conditions aux limites pour un système strictement hyperbolique via l'approximation parabolique, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Tome 319 (1994), pp. 377-382 | MR 1289315 | Zbl 0808.35075

[7] J. Goodman; A. Szepessy; K. Zumbrun A remark on the stability of viscous shock waves, SIAM J. Math. Anal., Tome 25 (1994), pp. 1463-1467 | Article | MR 1302156 | Zbl 0811.35047

[8] E. Grenier; O. Guès Boundary layers for viscous perturbations of noncharacteristic quasilinear hyperbolic problems, J. Diff. Equations, Tome 143 (1998), pp. 110-146 | Article | MR 1604888 | Zbl 0896.35078

[9] D. Henry Geometric theory of semilinear parabolic equations, Springer-Verlag, Berlin, LNM, Tome 840 (1981) | MR 610244 | Zbl 0456.35001

[10] T. Kato Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, Berlin, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Tome 112 (1966) | MR 203473 | Zbl 0148.12601

[11] Li Ta-Tsien; Yu Wen-Ci Boundary value problems for quasilinear hyperbolic systems, Duke University, Durham, N. C, Math. Series, Tome vol. V (1985) | MR 823237 | Zbl 0627.35001

[12] D. Serre Solutions globales $(-\infty<t<+\infty)$ des systèmes paraboliques de lois de conservation, Ann. Inst. Fourier, Tome 48 (1998) no. 4, pp. 1069-1091 | Article | Numdam | MR 1656008 | Zbl 0917.35076

[13] D. Serre; M. Fey, R. Jeltsch Eds Discrete shock profiles and their stability., Hyperbolic problems : theory, numerics, applications. Zurich 1998, Birkhaüser (ISNM) Tome 130 (1999), pp. 843-854 | Zbl 0928.35102

[14] A. Szepessy; Zhouping Xin Nonlinear stability of viscous shock waves, Arch. Rat. Mach. Anal., Tome 122 (1993), pp. 53-103 | Article | MR 1207241 | Zbl 0803.35097

[15] Zhouping Xin Viscous boundary layers and their stability, J. of PDEs, Tome 11 (1998), pp. 97-124 | MR 1626991 | Zbl 0906.35057

[16] K. Zumbrun; P. Howard Pointwise semigroup methods and stability of viscous shock waves, Indiana U. Math. J., Tome 47 (1998), pp. 741-871 | Article | MR 1665788 | Zbl 0928.35018

[17] K. Zumbrun; D. Serre Viscous and inviscid stability of multidimensional shock fronts, Indiana U. Math. J., Tome 48 (1999), pp. 937-992 | Article | MR 1736972 | Zbl 0944.76027