Sur le schéma de Hilbert des courbes gauches de degré d et genre g=(d-3)(d-4)/2
Amrane, Samir Ait
Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000), p. 1671-1707 / Harvested from Numdam
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Dans cet article, nous étudions le schéma de Hilbert H d,g des courbes gauches (de pure dimension 1 et sans points immergés) de degré d≥4 et genre g=(d-3)(d-4)/2, qui est le plus grand genre pour lequel l’étude de H d,g est non triviale. Nous commençons par donner, pour chaque valeur de d, tous les modules de Rao des courbes de H d,g et ses sous-schémas à cohomologie constante, et nous décrivons la courbe générique de chacun de ces sous-schémas. Nous déduisons ensuite les composantes irréductibles et la dimension de H d,g . Enfin, la partie la plus difficile de cet article consiste à étudier toutes les spécialisations possibles entre les différents sous-schémas à cohomologie constante de H d,g en utilisant la notion de triade récemment introduite par R. Hartschorne, M. Martin-Deschamps et D. Perrin, ce qui permet notamment de montrer la connexité de H d,g .

In this paper, we study the Hilbert scheme H d,g of space curves (of pure dimension one and without embedded points) of degree d≥4 and genus g=(d-3)(d-4)/2, which corresponds to the biggest value of the genus for which the study of H d,g is nontrivial. We first give for each d all Rao modules of curves of H d,g and its subschemes with constant cohomology, and we describe the generic curve of each of these subschemes. Next, we deduce the irreducible components and the dimension of H d,g . Finally, the hardest part of this paper consists in the study of all possible specializations between the subschemes of H d,g with constant cohomology, using the concept of triad recently introduced by R. Hartschorne, M. Martin-Deschamps and D. Perrin. In particular, we establish the connectedness of the Hilbert scheme H d,g .

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Amrane, Samir Ait. Sur le schéma de Hilbert des courbes gauches de degré $d$ et genre $g=(d-3)(d-4)/2$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000) pp. 1671-1707. doi : 10.5802/aif.1804. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_2000__50_6_1671_0/

[AA] S. Ait Amrane, Sur le schéma de Hilbert des courbes gauches de degré d et genre g = (d-3)(d-4)/2, Thèse de l'Université Paris-Sud, Décembre 1998. | Zbl 0916.14014

[E] Ph. Ellia, On the cohomology of projective space curves, Bolletino U.M.I., (7), 9-A (1995), 593-607. | MR 96k:14022 | Zbl 0866.14020

[BS] D. Bayer et M. Stillman, Macaulay : A system for computation in algebraic geometry and commutative algebra.

[EGA I] A. Grothendieck et J. Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique, I, Grundlehren 166, Springer Verlag, Heidelberg, 1971. | Numdam | Zbl 0203.23301

[Eis] D. Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Springer Verlag, New York, 1995. | Zbl 0819.13001

[Hal] G. Halphen, Mémoire sur la classification des courbes gauches algébriques, Journal de l'École Polytechnique, 52e cahier, 1882-Œuvres complètes, t. 3, Gauthiers-Villars éditeur, Paris, 1921, p. 261-455.

[H] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer Verlag, 1977. | MR 57 #3116 | Zbl 0367.14001

[HMDP1] R. Hartshorne, M. Martin-Deschamps et D. Perrin, Un théorème de Rao pour les familles de courbes gauches, rapport de recherche du LMENS 97-15, 1997.

[HMDP2] R. Hartshorne, M. Martin-Deschamps et D. Perrin, Construction de familles minimales de courbes gauches, rapport de recherche du LMENS 97-29, 1997. | MR 2001g:14053 | Zbl 01537824

[HMDP3] R. Hartshorne, M. Martin-Deschamps et D. Perrin, Triades et familles de courbes gauches, rapport de recherche du LMENS 97-33, 1997. | Zbl 01537824

[MDP1] M. Martin-Deschamps et D. Perrin, Sur la classification des courbes gauches I, Astérisque, vol. 184-185 (1990). | MR 91h:14039 | Zbl 0717.14017

[MDP2] M. Martin-Deschamps et D. Perrin, Quand un morphisme de fibrés dégénère-t-il le long d'une courbe lisse ?, in Algebraic Geometry (P.E. Newstead ed.), Lecture Notes in pure and applied math., vol. 200, 1998, p. 119-167. | MR 99i:14035 | Zbl 0959.14017

[MDP3] M. Martin-Deschamps et D. Perrin, Sur les bornes du module de Rao, C.R. Acad. Sci. Paris, t. 137, série I, (1993), 1159-1162. | MR 95e:14023 | Zbl 0796.14029

[MDP4] M. Martin-Deschamps et D. Perrin, Le schéma de Hilbert des courbes gauches localement Cohen-Macaulay n'est (presque) jamais réduit, Ann. Scient. Éc. Norm. Sup., 4e série, t. 29 (1996), 757-785. | Numdam | MR 98a:14003 | Zbl 0892.14005

[MDP5] M. Martin-Deschamps et D. Perrin, Sur les courbes gauches à modules de Rao non connexes, C.R. Acad. Sci. Paris, t. 319, Série I (1994), 233-236. | MR 95j:14034 | Zbl 0840.14017

[Mi] J. Migliore, On linking double lines, Trans. A.M.S., vol. 294, n°1 (1986), 177-185. | MR 87i:14028 | Zbl 0596.14019

[N1] S. Nollet, The Hilbert scheme of degree three curves, Ann. Scient. Éc. Norm. Sup., 30 (1997), 367-384. | Numdam | MR 99a:14003 | Zbl 0892.14004

[N2] S. Nollet, Subextremal curves, Manuscr. Math., 94 (1997), 303-317. | MR 98m:14033 | Zbl 0918.14014