Sur les équations aux différences en une variable

Marteau, Nicolas

Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000), p. 1589-1615 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Le sujet de cet article est l’étude des solutions continues sur $ℝ$ ou holomorphes sur $ℂ$ à valeurs complexes de systèmes de deux équations aux différences à coefficients polynomiaux

\sum_{j = 0}^{j = J} a_{j} (x) f (x + α_{j}) = \sum_{k = 0}^{k = K} b_{k} (x) f (x + β_{k}) = 0 .

Avec des hypothèses convenables sur les pas des équations (de nature algébrique et géométrique dans le cas complexe), on montre que ces solutions sont des polynômes exponentiels ou des quotients de polynômes exponentiels par des polynômes. Ces résultats prolongent ceux de J.-P. Bézivin et F. Gramain d’une part et de N. Brisebarre et L. Habsieger d’autre part, parus aux Annales de l’Institut Fourier.

The subject of this article is the study of continuous solutions over $ℝ$ or holomorphic over $ℂ$ with complex values of a system of two differences equations with polynomial coefficients

\sum_{j = 0}^{j = J} a_{j} (x) f (x + α_{j}) = \sum_{k = 0}^{k = K} b_{k} (x) f (x + β_{k}) = 0 .

With suitable hypothesis on the steps of the equations (of algebraic nature and geometric in the complex case), we prove that those solutions are exponential polynomials or quotients of an exponential polynomial by a polynomial. This work generalizes different results obtained by J.-P. Bézivin and F. Gramain, N. Brisebarre and L. Habsieger, published in the Annales de l’Institut Fourier.

Publié le : 2000-01-01

MR 2001m:39025 | Zbl 0960.39002 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1801

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Marteau, Nicolas. Sur les équations aux différences en une variable. Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000) pp. 1589-1615. doi : 10.5802/aif.1801. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_2000__50_5_1589_0/

Bibliographie

[BG1] J.-P. Bézivin, F. Gramain, Solutions entières d'un système d'équations aux différences, Ann. Institut Fourier Grenoble, 43-3 (1993), 791-814. | Numdam | MR 95e:30026 | Zbl 0796.39006

[BG2] J.-P. Bézivin, F. Gramain, Solutions entières d'un système d'équations aux différences II, Ann. Institut Fourier, Grenoble, 46-2 (1996), 465-491. | Numdam | MR 97i:32002 | Zbl 0853.39001

[BH] N. Brisebarre, L. Habsieger, Sur les fonctions entières à double pas récurrents, Ann. Institut Fourier, Grenoble, 49-2 (1999), 653-671. | Numdam | MR 2000j:39017 | Zbl 0927.39004

[Br] N. Brisebarre, Thèse de doctorat, “Une étude de deux problèmes diophantiens”, n° d'ordre 1903, 25/09/1998, Université de Bordeaux I.

[BrGa] R. Berenstein, R. Gay, Complex analysis and special topics in harmonic analysis, Springer-Verlag, 1995. | Zbl 0837.30001

[Gel] A.O. Guelfond, Calcul des différences finies, Dunod, Paris, 1963. | MR 28 #376 | Zbl 0108.27503

[Gr1] F. Gramain, Sur le théorème de Fukasawa-Gel'fond, Inv. Math., 63 (1981), 495-506. | MR 83g:30028 | Zbl 0461.10028

[Gr2] F. Gramain, Fonctions entières d'une ou plusieurs variables complexes prenant des valeurs entières sur une progression géométrique, Lect. Notes, 1415, Cinquante ans de polynômes, 1988, Springer-Verlag, pages 123-137. | MR 91e:11086 | Zbl 0709.11038

[Kh] G.M. Khenkin, Several complex variables V, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 54, Springer-verlag, 1993. | Zbl 0782.00028

[Lec] C. Lech, A note on recurring series, Ark. Math., 2 (1953), 417-421. | MR 15,104e | Zbl 0051.27801

[Loeb] J.-J. Loeb, Sur certaines équations aux différences associées à des groupes, Prépublication, 1997.

[Mar] N. Marteau, Thèse de doctorat, “Equations aux différences et fonctions représentatives”, n° d'ordre 368, 26/02/1999, Université d'Angers.

[Ri1] J.F. Ritt, A factorisation theory for functions ∑j=nj=1 ajeαjz, Trans. Amer. Math. Soc., 29 (1927), 584-596. | JFM 53.0122.06

[Ri2] J.F. Ritt, Algebraic combination of exponentials, Trans. Amer. Math. Soc., 31 (1929), 654-679. | JFM 55.0211.03

[Ri3] J.F. Ritt, On the zeros of exponentials polynomials, Trans. Amer. Math. Soc., 31 (1929), 680-686. | JFM 55.0212.01

[TDN] Travaux de Tijedman-Van Der Poorten, Séminaire de Théorie des nombres, Bordeaux.