Fefferman's SAK principle in one dimension

Hérau, Frédéric

Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000), p. 1229-1264 / Harvested from Numdam

Résumé

On donne dans cet article une preuve complète en dimension 1 d’une inégalité a priori entre opérateurs pseudo-différentiels : si $a$ et $b$ sont deux symboles dans $S^2_{1,0}$ satisfaisant l’inégalité $\vert a\vert \le b$, alors pour tout $\epsilon >0$ on a l’estimation $\Vert a^wu\Vert ^2_s\le C_\epsilon (\Vert b^wu\Vert ^2_s +\Vert u\Vert ^2_{s+\epsilon })$ pour tout $u$ dans l’espace de Schwartz, où $\Vert \;\Vert _t$ désigne la norme $H_t$ usuelle. On utilise des niveaux I, II et III de microlocalisation dans l’esprit du “SAK principle” de Fefferman.

Abstract

In this article we give a complete proof in one dimension of an a priori inequality involving pseudo-differential operators: if $a$ and $b$ are symbols in $S^2_{1,0}$ such that $\vert a\vert \le b$, then for all $\epsilon >0$ we have the estimate $\Vert a^wu\Vert ^2_s\le C_\epsilon (\Vert b^wu\Vert ^2_s +\Vert u\Vert ^2_{s+\epsilon })$ for all $u$ in the Schwartz space, where $\Vert \;\Vert _t$ is the usual $H_t$ norm. We use microlocalization of levels I, II and III in the spirit of Fefferman’s SAK principle.

Détail

Publié le : 2000-01-01

MR 2001k:35310 | Zbl 0956.35141

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1791

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