Systèmes aux $q$-différences singuliers réguliers : classification, matrice de connexion et monodromie

Sauloy, Jacques

Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000), p. 1021-1071 / Harvested from Numdam

Résumé

G.D. Birkhoff a posé, par analogie avec le cas classique des équations différentielles, le problème de Riemann-Hilbert pour les systèmes “fuchsiens” aux $q$-différences linéaires, à coefficients rationnels. Il l’a résolu dans le cas générique: l’objet classifiant qu’il introduit est constitué de la matrice de connexion $P$ et des exposants en $0$ et $\infty $. Nous reprenons sa méthode dans le cas général, mais en traitant symétriquement $0$ et $\infty $ et sans recours à des solutions à croissance “sauvage”. Lorsque $q$ tend vers $1$, $P$ tend vers une matrice localement constante $\tilde{P}$ telle que les valeurs (en nombre fini) $\tilde{P}(a)^{-1}\tilde{P}(b)$ sont les matrices de monodromie du système différentiel limite (supposé non résonnant en $0$ et $\infty $) en les singularités de ${\Bbb C}^{*}$.

Abstract

G.D. Birkhoff extended the classical Riemann-Hilbert problem for differential equations to the case of “fuchsian” linear $q$-difference systems with rational coefficients. He solved it in the generic case: the classifying object which he introduces is made up of the connection matrix $P$, together with the exponents at $0$ and $\infty $. We follow his method in the general case, but treat symmetrically $0$ and $\infty $ and use no “wildly” growing solutions. When $q$ tends to $1$, $P$ tends to a locally constant matrix $\tilde{P}$ such that the (finitely many) values $\tilde{P}(a)^{-1}\tilde{P}(b)$ are the monodromy matrices of the limiting differential system (assumed to be non resonant at $0$ and $\infty $) at the singularities on ${\Bbb C}^{*}$.

Détail

Publié le : 2000-01-01

MR 2001m:39043 | Zbl 0957.05012 | 6 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1784

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