The trace of the generalized harmonic oscillator

Wunsch, Jared

Annales de l'Institut Fourier, Tome 49 (1999), p. 351-373 / Harvested from Numdam

Résumé

On étudie une généralisation géométrique de l’équation de Schrödinger dépendant du temps pour l’oscillateur harmonique

Dt+12Δ+Vψ=0,(0.1)

où $\Delta $ est l’opérateur de Laplace-Beltrami associé à une “métrique scattering” sur une variété compacte $M$ à bord (la classe des métriques scattering est une généralisation des métriques asymptotiquement euclidiennes sur ${\Bbb R}^n$, compactifié radialement en une boule) et $V$ est une perturbation de ${1\over 2}\omega ^2x^{-2}$, où $x$ est une fonction qui définit le bord de $M$ ( par exemple, $x=1/r$ dans le cas euclidien compactifié). En employant le front d’onde quadratique-scattering, une généralisation du front d’onde de Hörmander qui mesure les oscillations sur $\partial M$ ainsi que les singularités, on décrit un théorème de propagation des singularités pour les solutions de (0.1). Ceci permet de démontrer le théorème de trace suivant : soit

Sω=Lω;ilexisteunegéodésiqueferméedans∂Mdelongueur±L∪nπω;ilexisteunn-polygonegéodésiquedansM,àsommetssur∂M∪{0}.

Soit $U(t)={\rm e}^{it({1\over 2}\Delta +V)}$ l’opérateur solution du problème de Cauchy pour (0.1). Alors sous une hypothèse de non-captivité pour le flot géodésique sur ${\mathrel {\mathop {\hspace{0.0pt}M}\limits ^{\circ }}}$, on a

supp sing Tr U(t)⊂Sω,

où ${\rm Tr}\,U(t)$ est la distribution qu’on obtient en intégrant le noyau de Schwartz de $U(t)$ sur la diagonale de $M\times M$, ou bien en prenant $\sum _j {\rm e}^{- it\lambda _j}$, où les $\lambda _j$ sont les valeurs propres de ${1\over 2}\Delta +V$.

Abstract

We study a geometric generalization of the time-dependent Schrödinger equation for the harmonic oscillator

Dt+12Δ+Vψ=0(0.1)

where $\Delta $ is the Laplace-Beltrami operator with respect to a “scattering metric” on a compact manifold $M$ with boundary (the class of scattering metrics is a generalization of asymptotically Euclidean metrics on ${\Bbb R}^n$, radially compactified to the ball) and $V$ is a perturbation of ${1\over 2}\omega ^2x^{-2}$, with $x$ a boundary defining function for $M$ (e.g. $x=1/r$ in the compactified Euclidean case). Using the quadratic-scattering wavefront set, a generalization of Hörmander’s wavefront set that measures oscillation at $\partial M$ as well as singularities, we describe a propagation of singularities theorem for solutions of (0.1). This enables us to prove the following trace theorem : let

Sω=Lω:thereexistsaclosedgeodesicin∂Moflength±L∪nπω:thereexistsageodesicn-goninMwithvertices∂M∪{0}.

Let $U(t)={\rm e}^{it({1\over 2}\Delta +V)}$ be the solution operator to the Cauchy problem for (0.1). Then under a non-trapping assumption for the geodesic flow on ${\mathrel {\mathop {\hspace{0.0pt}M}\limits ^{\circ }}}$, we have

supp sing Tr U(t)⊂Sω,

where ${\rm Tr}\,U(t)$ is the distribution given by integrating the Schwartz kernel of $U(t)$ over the diagonal in $M\times M$ or, alternatively, by $\sum _j{\rm e}^{-it\lambda _j}$, where $\lambda _j$ are the eigenvalues of ${1\over 2}\Delta +V$.

Détail

Publié le : 1999-01-01

MR 2000c:58055 | Zbl 0924.58098

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1677

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