Sur l'approximation algébrique en degré de transcendance un

Laurent, Michel ; Roy, Damien

Annales de l'Institut Fourier, Tome 49 (1999), p. 27-55 / Harvested from Numdam

Résumé

Soient ${\cal C}$ une courbe algébrique affine de ${\Bbb C}^m$ définie sur ${\Bbb Q}$, et $\underline{\theta }$ un point de ${\cal C}$ qui n’est pas algébrique. On démontre l’existence d’une infinité de “bonnes” approximations de $\underline{\theta }$ par des points algébriques de ${\cal C}$ de degré et taille bornés, les majorants du degré et de la taille étant choisis à l’intérieur de suites satisfaisant certaines conditions de croissance modérée. On établit aussi une minoration du degré de ces bonnes approximations, raffinant ainsi un résultat de Wirsing. Comme corollaire, nous obtenons un critère d’indépendance algébrique avec multiplicités le long de la courbe ${\cal C}$. L’article est complété par un appendice de calcul différentiel contenant une formule explicite pour les coefficients de Taylor d’une fonction implicite.

Abstract

Let ${\cal C}$ be an affine algebraic curve in ${\Bbb C}^m$ defined over ${\Bbb Q}$ and let $\underline{\theta }$ be a point on ${\cal C}$ which is not algebraic. We assert the existence of infinitely many “good” approximations of $\underline{\theta }$ by algebraic points on ${\cal C}$ with bounded size and degree, the upper bounds of the degree and the size belonging to sequences satisfying some growth conditions. We also prove some lower bound for the degree of these approximations, refining a result due to Wirsing. As a corollary, we obtain a criterion of algebraic independence with multiplicities along the curve ${\cal C}$. The paper is completed by an appendix of differential calculus containing an explicit formula for the Taylor’s coefficients of an implicit function.

Détail

Publié le : 1999-01-01

MR 2000b:11088 | Zbl 0923.11105

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1668

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