Systèmes linéaires adjoints $L^2$

Eyssidieux, Philippe

Systèmes linéaires adjoints

L^{2}

Eyssidieux, Philippe

Annales de l'Institut Fourier, Tome 49 (1999), p. 141-176 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Nous développons une version de la théorie d’indice $L^{2}$ d’Atiyah pour les faisceaux cohérents sur les variétés algébriques lisses et l’utilisons pour attaquer certaines questions de J. Kollár.

Soit $X$ une variété complexe compacte projective algébrique lisse et connexe. Nous prouvons que si $L$ est un diviseur nef et gros, tel que la restriction de $K_{X} + L$ à la fibre générale d’une application de Shafarevich est effective, $K_{X} + L$ est effectif.

Soit $X$ une variété kählérienne compacte telle qu’il existe une classe de cohomologie de type $(1, 1)$ qui soit big et provienne du groupe fondamental de $X$ . Nous prouvons que $χ (X, K_{X}) \geq 0$ . Si $χ (X, K_{X}) \neq 0$ , le revêtement universel de $X$ porte une forme holomorphe $L^{2}$ de degré maximale non triviale. Si $χ (X, K_{X}) = 0$ , nous prouvons que zéro est dans le spectre du laplacien sur les formes de degré moitié si le groupe fondamental est de croissance sous-exponentielle.

We adapt Atiyah’s $L^{2}$ -index theory to treat coherent sheaves on algebraic manifolds and use it as a tool to investigate certain questions posed by J. Kollár.

Let $X$ be a connected projective algebraic compact complex manifold. We prove that, if $L$ is a big and nef divisor on $X$ , such that the restriction of $K_{X} + L$ to the general fiber of a Shafarevich map is effective, $K_{X} + L$ is effective.

Let $X$ be a connected Kähler manifold such that some big cohomology class of type $(1, 1)$ is in the image of $H^{2} (π_{1} (X), ℝ)$ . We prove that $χ (X, K_{X}) \geq 0$ . Furthermore, if $χ (X, K_{X})$ is not $0$ , the universal covering space of $X$ carries a non trivial $L^{2}$ holomorphic form of maximal degree. If $χ (X, K_{X})$ is zero, we prove that zero belongs to the spectrum of the Laplace-Beltrami operator on the middle degree forms, provided the fundamental group has subexponential growth.

Publié le : 1999-01-01

MR 2000d:32036 | Zbl 0923.14004

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1670

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Eyssidieux, Philippe. Systèmes linéaires adjoints $L^2$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 49 (1999) pp. 141-176. doi : 10.5802/aif.1670. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1999__49_1_141_0/

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