Sur la méthode des orbites pour une algèbre de Lie résoluble

Charbonnel, Jean-Yves

Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998), p. 1309-1344 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit ${\frak g}$ une algèbre de Lie complètement résoluble sur un corps de caractéristique zéro. Soit $Q$ un idéal ${\frak g}$-invariant de l’algèbre symétrique de ${\frak g}$. L’application de Dixmier pour ${\frak g}$ associe à $Q$ un idéal premier de l’algèbre enveloppante ${\rm U}({\frak g})$ de ${\frak g}$. Soit $\hat{\rm A}({\frak g})$ l’algèbre des opérateurs différentiels à coefficients séries formelles. Dans l’algèbre ${\rm A}({\frak g})$ des opérateurs différentiels à coefficients polynomiaux, il y a un idéal à gauche $\Lambda ^{\prime }_{{\frak g}}(Q)$ qui contient $Q$ et les champs de vecteurs adjoints. Il y a un plongement canonique $L_{{\frak g}}$ de ${\rm U}({\frak g})$ dans $\hat{\rm A}({\frak g})$. Suivant une idée de Dixmier, on montre que pour un bon élément inversible, ${\frak g}$-invariant, $p$ de $\hat{\rm A}({\frak g})$, $P$ est l’image inverse par $L_{{\frak g}}$ de l’idéal à gauche $\hat{\rm A}({\frak g})\Lambda ^{\prime }_{{\frak g}}(Q)p$. Les éléments $p$ sont liés à la formule des caractères pour les groupes de Lie résolubles.

Abstract

Let ${\frak g}$ be a completely solvable Lie algebra over a field of characteristic zero. Let $Q$ be a ${\frak g}$-invariant ideal in the symmetric algebra ${\rm S}({\frak g})$ of ${\frak g}$. The Dixmier’s map for ${\frak g}$ associates to $Q$ a prime ideal $P$ in the enveloping algebra ${\rm U}({\frak g})$ of ${\frak g}$. Let $\hat{\rm A}({\frak g})$ be the algebra of differential operators with formal series coefficients. In the algebra ${\rm A}({\frak g})$ of differential operators with polynomial coefficients, there is a left ideal $\Lambda ^{\prime }_{{\frak g}} (Q)$ which contains $Q$ and the adjoint vector fields. There is a canonical embedding $L_{{\frak g}}$ of ${\rm U}({\frak g})$ in $\hat{\rm A}({\frak g})$. Following an idea of Dixmier, we prove that for a good invertible, ${\frak g}$-invariant element $p$ in $\hat{\rm A}({\frak g})$, $P$ is the inverse image by $L_{{\frak g}}$ of the left ideal $\hat{\rm A}({\frak g})\Lambda ^{\prime }_{{\frak g}}(Q)p$. The elements $p$ are related to the character formula for solvable Lie groups.

Détail

Publié le : 1998-01-01

MR 99k:17021 | Zbl 0917.17005

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1656

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