Combinatoire des simplexes sans singularités I. Le cas différentiable

Cerf, Jean

Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998), p. 1129-1166 / Harvested from Numdam

Résumé

On définit le bicomplexe $C_{\bullet ,\bullet }$, extension naturelle du complexe $C$ engendré par un ensemble simplicial $\Gamma $. Ceci permet de définir la notion de ruban de base un cycle de $C$. La somme directe de l’homologie des colonnes de $C_{\bullet ,\bullet }$ contient, outre l’homologie de $C$, des groupes dans lesquels se trouvent les obstructions à l’existence de rubans. Si $\Gamma $ est un sous-ensemble simplicial, stable par subdivision, de l’ensemble des simplexes singuliers d’un espace topologique, l’existence de rubans entraîne l’invariance de l’homologie de $C$ par subdivision. Le lemme fondamental de l’article est prouvé dans le cas général où $C$ est engendré par un espace (topologique) simplicial $\Gamma $ dépourvu d’opérateurs de dégénérescence : si $\Gamma $ satisfait à une condition locale d’extension et à une condition dite d’isotopie des étoiles, ces groupes d’obstructions sont nuls et l’homologie de $C$ satisfait à l’invariance par isotopie. Comme conséquence on obtient, en même temps qu’une nouvelle démonstration du théorème de Lalonde sur l’homologie des simplexes plongés transverses à un feuilletage différentiable, l’extension de ce théorème à l’homologie des simplexes immergés.

Abstract

We define the natural extension $C_{\bullet ,\bullet }$ of the complex $C$ generated by a simplicial set $\Gamma $. This enables us to define the notion of a ribbon base on a cycle of $C$. The direct sum of the homologies of the columns of $C_{\bullet ,\bullet }$ contains, in addition to the homology of $C$, some groups where the obstructions to the existence of ribbons do live. In the case $\Gamma $ is a stable under subdivision simplicial subset of the set of singular simplexes of a topological space, the existence of ribbons implies the invariance of the homology of $C$ under subdivision. The fundamental lemma of the paper is proved in the general case of a complex $C$ generated by a (topological) simplicial space $\Gamma $ without degeneracy operators: if $\Gamma $ satisfies a local extension property, and also some “isotopy of stars” property, then these obstruction groups vanish, and the homology of $C$ satisfies the invariance under isotopy. As a consequence one obtains in an unified way both a new proof of the theorem of Lalonde about the homology of embedded simplexes meeting transversally a foliation of a differentiable manifold, and the extension of Lalonde’s theorem to the homology of immersed simplexes.

Détail

Publié le : 1998-01-01

MR 99k:57058 | Zbl 0911.57019

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1652

Bibliographie

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