Classes d'Euler équivariantes et points rationnellement lisses

Arabia, Alberto

Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998), p. 861-912 / Harvested from Numdam

Résumé

Lorsqu’un tore ${\bf T}$ agit sur une variété algébrique complexe ${\bf X}$ munie de la topologie transcendante, nous définissons la classe d’Euler ${\bf T}$-équivariante d’un point fixe isolé $x\in {\bf X}^{{\bf T}}$, qu’il soit lisse ou non. Cette classe est une fraction rationnelle à un nombre fini de variables et lorsque $x$ est rationnellement lisse dans ${\bf X}$, c’est un polynôme qui s’identifie canoniquement à la classe d’Euler équivariante usuelle, mais, réciproquement, lorsque la classe d’Euler équivariante est polynomiale, il n’est pas toujours vrai que le point soit rationnellement lisse. Nous donnons dans cet article des conditions suffisantes permettant d’affirmer, pour un point fixe isolé de ${\bf X}$, l’équivalence entre “être rationnellement lisse dans ${\bf X}$” et “avoir une classe d’Euler équivariante polynomiale”. Comme application de ces idées, nous démontrons un critère de lissité rationnelle pour les points d’une variété de Schubert.

Abstract

In this paper we consider complex algebraic varieties endowed with an action of a torus ${\bf T}$ and we define the ${\bf T}$-equivariant Euler class for any, smooth or not, isolated fixed point $x\in {\bf X}^{{\bf T}}$. This class is a rational fraction on a finite number of variables and when $x$ is a rationally smooth point of ${\bf X}$, it is a polynomial function canonically identified to the usual equivariant Euler class. We give sufficient conditions for an isolated fixed point of ${\bf X}$ having a polynomial equivariant Euler class to be smooth or rationally smooth. Finally, we apply these ideas to prove a rational smoothness criterion for the points of a Schubert variety.

Détail

Publié le : 1998-01-01

MR 2000b:14061 | Zbl 0899.14023 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1642

Bibliographie

[A1] A. Arabia, Cycles de Schubert et cohomologie équivariante de K/T, Inventiones Mathematicae, 85 (1986), 39-52. | MR 87g:32036 | Zbl 0624.22005

[A2] A. Arabia, Cohomologie T-équivariante de la variété de drapeaux d'un groupe de Kač-Moody, Bull. Soc. Math. France, 117 (1989), 129-165. | Numdam | MR 90i:32042 | Zbl 0706.57024

[AB] M.F. Atiyah, R. Bott, The moment map and equivariant cohomology, Topology, 23, n° 1 (1984), 1-28. | MR 85e:58041 | Zbl 0521.58025

[AP] C. Allday, V. Puppe, Cohomological Methods in Transformation Groups, Cambridge studies in advanced mathematics 32, Cambridge University Press (1993). | MR 94g:55009 | Zbl 0799.55001

[Bo] A. Borel et al, Intersection Cohomology, Progress in Mathematics 50, Birkhäuser (1984). | MR 788176 | Zbl 0553.14002

[Bri] M. Brion, Equivariant Chow groups for torus actions, Birkhäuser, Transformation groups, Vol 2, n° 3 (1997), 1-43. | Zbl 0916.14003

[Bry] J.-L. Brylinski, Equivariant intersection cohomology, Collection : Kazhdan-Lusztig theory and related topics (Chicago, IL, 1989), 5-32. Series : Contemp. Math., 139, American Mathematical Society, (1992). | MR 94c:55010 | Zbl 0803.55002

[C] J.B. Carrell, The Bruhat graph of a Coxeter group, a conjecture of Deodhar, and rational smoothness of Schubert varieties, Algebraic groups and their generalizations : classical methods. University Park, PA, (1991), 53-61, Proc. Sympos. Pure Math., 56 (1994), Part 1. | MR 95d:14051 | Zbl 0818.14020

[Dem] M. Demazure, Désingularisation des variétés de Schubert généralisées, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., (4) 7 (1974), 53-88. | Numdam | MR 50 #7174 | Zbl 0312.14009

[Deo] V. Deodhar, Local Poincaré duality and non-singularity of Schubert varieties, Communications in Algebra, 13 (1986), 1379-1388. | MR 86i:14015 | Zbl 0579.14046

[Dy] M.J. Dyer, The nil-Hecke ring and Deodhar's conjecture on Bruhat intervals, Inventiones Mathematicae, 111 (1993), 571-574. | MR 94c:20073 | Zbl 0813.20043

[EGA] A. Grothendieck, Eléments de géométrie algébrique III. Etude cohomologique des faisceaux cohérents (première partie), Publications Mathématiques de l'I.H.E.S., n° 11 (1961). | Numdam

[GM] M. Goresky, R. Macpherson, Intersection homology II, Inventiones Mathematicae, 71 (1983), 77-129. | MR 84i:57012 | Zbl 0529.55007

[Ha] H.C. Hansen, On cycles in flag manifolds, Math. Scand., 33 (1970), 269-274. | MR 51 #12878 | Zbl 0301.14019

[Hs] W.Y. Hsiang, Cohomology Theory of Topological Transformation Groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebeite. Band, 85, Springer-Verlag (1970). | MR 54 #11363 | Zbl 0243.57015

[KaL1] D. Kazhdan, G. Lusztig, Representations of Coxeter Groups and Hecke Algebras, Inventiones Mathematicae, 53 (1979), 165-184. | MR 81j:20066 | Zbl 0499.20035

[KaL2] D. Kazhdan, G. Lusztig, Schubert varieties and Poincaré duality, Proc. Sympos. Pure Math., A.M.S., 36 (1980), 185-203. | MR 84g:14054 | Zbl 0461.14015

[KuKo] B. Kostant, S. Kumar, The nil-Hecke ring and cohomology of G/P for a Kač-Moody group G, Advances in Math., 62 (1986), 187-237. | MR 88b:17025b | Zbl 0641.17008

[Ku0] S. Kumar, A connexion of equivariant K-theory with the singularity of Schubert varieties, prépublication (1986-1987).

[Ku1] S. Kumar, The nil-Hecke ring and singularity of Schubert varieties, in “Lie Theory and geometry (in honor of Bertram Kostant)”, Progress in Math., 123, Birkhäuser, 497-507 (1994). | MR 97a:14052 | Zbl 0856.14017

[Ku2] S. Kumar, The nil-Hecke ring and singularity of Schubert varieties, Inventiones Mathematicae, 123, n° 3 (1996), 471-506. | MR 97j:14057 | Zbl 0863.14031

[M] J. Mccleary User's guide to spectral sequences, Publish or Perish, Mathematical lecture series 12 (1985). | MR 87f:55014 | Zbl 0577.55001

[L] D. Luna, Slices étales, Bulletin Soc. Math. France, Mémoire 33 (1973), 81-105. | Numdam | MR 49 #7269 | Zbl 0286.14014

[Ma] H. Matsumura, Commutative algebra, Benjamin, New York, 1970. | MR 42 #1813 | Zbl 0211.06501

[Mi] J. Milnor, Construction of universal bundles. I, II, Ann. of Math., (2) 63 (1956), 272-284, 430-436. | MR 17,994b | Zbl 0071.17302

[P] P. Polo, On Zariski tangent spaces of Schubert varieties, and a proof of a conjecture of Deodhar, Indagationes Mathematicae, New-Series 5, n° 4 (1994), 483-493. | MR 96a:20059 | Zbl 0833.20050

[Q] D. Quillen, The spectrum of an equivariant cohomology ring I, II, Ann. of Math., (2) 94 (1971), 549-572, 573-602. | MR 45 #7743 | Zbl 0247.57013

[R] W. Rossmann, Equivariant multiplicities on complex varieties, in “Orbites unipotentes et representations, III”, Astérisque, n° 173-174 (1989), 313-330. | MR 91g:32042 | Zbl 0691.32004