Intégration des fonctions sous-analytiques et volumes des sous-ensembles sous-analytiques

Lion, Jean-Marie ; Rolin, Jean-Philippe

Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998), p. 755-767 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $f(x,y)$ une fonction sous-analytique de ${\bf R}^n\times {\bf R}^m$ à valeurs dans ${\bf R}^+.$ Nous montrons que l’intégrale $\int _{{\bf R}^m}f(x,y)dy$ est une fonction log-analytique de $x.$ Nous en déduisons que le volume $k$-dimensionnel des éléments $Y_x$ d’une famille sous-analytique de sous-ensembles sous-analytiques globaux de l’espace euclidien ${\bf R}^m$ est une fonction log-analytique de $x.$ Un corollaire de ce résultat est le caractère log-analytique de la fonction densité $k$-dimensionnelle d’un sous-analytique global de dimension $k$ en tout point de sa fermeture topologique.

Abstract

Let $f(x,y)$ be a positive subanalytic function defined on ${\bf R}^n\times {\bf R}^m.$ We prove that the integral $\int _{{\bf R}^m}f(x,y)dy$ is a log-analytic function of $x.$ Let $Y_x$ be a subanalytic family of global subanalytic subsets of the euclidean space ${\bf R}^m.$ We deduce from the previous result that the $k$-dimensional volume of $Y_x$ is a log-analytic function of $x.$ A corollary is the log-analytic behaviour of the $k$-dimensional density of a $k$-dimensional subanalytic set at any point of its topological closure.

Détail

Publié le : 1998-01-01

MR 2000i:32011 | Zbl 0912.32007 | 5 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1637

Bibliographie

[AGV] V.I. Arnold, A. Varchenko et S. Goussein-Zadé, Singularités des applications différentiables, MIR, Moscou, 1986.

[Ba] D. Barlet, Développement asymptotique des fonctions obtenues par intégration sur les fibres, Inv. Math., 68 (1982), 129-174. | MR 84a:32021 | Zbl 0508.32003

[BM] E. Bierstone et P. Milman, Semianalytic and subanalytic sets, Publ. Math. IHES, 67 (1988), 5-42. | Numdam | MR 89k:32011 | Zbl 0674.32002

[DMM] L. Van Den Dries, A. Macintyre et D. Marker, The elementary theory of restricted analytic fields with exponentiation, Annals of Maths, 140 (1994), 183-205. | MR 95k:12015 | Zbl 0837.12006

[Ga] A. Gabrielov, Projections of semi-analytic sets, Funct. Anal. Appl., 2 (1968), 282-291. | MR 39 #7137 | Zbl 0179.08503

[Hi] H. Hironaka, Subanalytic sets, Number Theory, Algebraic Geometry and Commutative Algebra, Tokyo, Kinokuniya, (1973), 453-493. | MR 51 #13275 | Zbl 0297.32008

[Je] P. Jeanquartier, Intégration sur les fibres d'une fonction analytique, dans Introduction à la théorie algébrique des systèmes différentiels, 1-39, Travaux en cours, 34, Hermann, Paris (1988). | MR 91c:58004 | Zbl 0676.32001

[KP] L. Karp et M. Pinsky, Volume of small extrinsic ball in a submanifold, Bull. London Math. Soc., 21 (1989), 87-92. | MR 89i:53038 | Zbl 0641.53007

[KR] K. Kurdyka et G. Raby, Densité des ensembles sous-analytiques, Ann. Inst. Fourier, 39-3 (1989), 753-771. | Numdam | MR 90k:32026 | Zbl 0673.32015

[La] R. Langevin, Un peu de géométrie intégrale, Images des Mathématiques, CNRS, (1995), 58-67.

[LDT] Le Dung Trang, Geometry of monodromy and Nilpotency exponent, manuscrit (1979).

[Le] P. Lelong, Intégration sur un ensemble analytique complexe, Bull. Soc. Math. France, 85 (1957), 239-262. | Numdam | MR 20 #2465 | Zbl 0079.30901

[LR] J.-M. Lion et J.-P. Rolin, Théorème de préparation pour les fonctions logarithmico-exponentielles, Ann. Inst. Fourier, 47-3 (1997), 859-884. | Numdam | MR 98h:32009 | Zbl 0873.32004

[Lo] F. Loeser, Volumes des tubes autour des singularités, Duke Math. Journal, 53 (1986), 443-455. | MR 87j:32022 | Zbl 0653.32006

[Łoj] S. Łojasiewicz, Stratifications et triangulations sous-analytiques, Università degli Studi di Bologna (1986). | Zbl 0617.32011

[Ma] B. Malgrange, Intégrales asymptotiques et monodromie, Ann. Scien. ENS, 7 (1974), 405-430. | Numdam | MR 51 #8459 | Zbl 0305.32008

[Mi] C. Miller, Expansions of the real field with power functions, Ann. Pure Appl. Logic, 68 (1994). | MR 95i:03081 | Zbl 0823.03018

[Ni] N. Nilsson, dans Arkiv för Mathematik.

[Pa] A. Parusiński, Lipschitz stratification of subanalytic sets, Ann. Scient. ENS, 27 (1994), 661-996. | Numdam | MR 96g:32017 | Zbl 0819.32007

[Ro] C.A. Roche, Densities for certain leaves of real analytic foliations, Astérisque, 222 (1994), 373-387. | MR 95i:58011 | Zbl 0831.32004

[Sa] L.A. Santaló, Integral geometry and geometric probability dans Encyclopedia of mathematics and its applications, Addison-Wesley, Reading, Vol 1. | Zbl 0342.53049

[To] J.-C. Tougeron, Paramétrisations de petits chemins en géométrie analytique réelle, preprint Université de Rennes. | Zbl 0852.32006