Nous montrons que le prolongement des homotopies, propriété de certains feuilletages étudiée par Godbillon, équivaut à la réunion de trois conditions indépendantes : la condition de Barre, qui est transverse ; la trivialité des cycles évanouissants de toutes dimensions, et la trivialité des cycles apparents de toutes dimensions. On établit que pour les feuilletages riemanniens et pour les feuilletages géodésibles, la propriété équivaut à l’absence d’holonomie. Ces résultats sont ensuite appliqués aux flots apériodiques construits par Schweitzer, Kuperberg : nous pouvons dans de nombreux cas décider s’ils prolongent ou non les homotopies.
We show that, in the domain of foliations, Godbillon’s Homotopy Extension Property is equivalent to the conjunction of three independent conditions: Barre’s condition, which is transverse; vanishing cycles are null, and appearing cycles are null. We establish that for riemannian foliations and for geodesible foliations, condition is equivalent to being without holonomy. Then these results are applied to the aperiodic flows built by Schweitzer, Kuperberg, and we can decide in many cases if they have the Homotopy Extension Property, or not.
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Meigniez, Gaël. Prolongement des homotopies, $Q$-variétés et cycles tangents. Annales de l'Institut Fourier, Tome 47 (1997) pp. 945-965. doi : 10.5802/aif.1587. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1997__47_3_945_0/
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