L’article donne des réponses optimales ou presque optimales aux questions suivantes, qui remontent à Stieltjes, Landau et Bohr, et concernent des séries de Dirichlet et leur produit
1. Supposant que les sont convergentes aux points et absolument convergentes aux points en quels points s’ensuit-il que est convergente ?
2. Supposant que les sont convergentes aux points en quels points s’ensuit-il que est convergente ?
3. Supposant que les sont -sommables aux points en quels points s’ensuit-il que est -sommable ?
Les réponses font intervenir des fonctions convexes qui jouent un rôle extrémal pour une autre question : ce sont les plus grandes fonctions d’ordre (dites aussi fonctions de Lindelöf) compatibles avec les données.
Optimal or almost optimal answers are given to the following questions, going back to Stieltjes, Landau and Bohr, about Dirichlet series and their product
1. Assuming that the converge at points and converge absolutely at points at which points does it follow that converges ?
2. Assuming that the converge at points at which points does it follow that converges ?
3. Assuming that the are -summable at points at which points does it follow that is -summable ?
The answers involve convex functions which enjoy another extremal property: they are the largest order (= Lindelöf) functions compatible with the data.
@article{AIF_1997__47_2_485_0, author = {Kahane, Jean-Pierre and Queff\'elec, Herv\'e}, title = {Ordre, convergence et sommabilit\'e de produits de s\'eries de Dirichlet}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, volume = {47}, year = {1997}, pages = {485-529}, doi = {10.5802/aif.1571}, mrnumber = {98g:11102}, zbl = {0977.11037}, language = {fr}, url = {http://dml.mathdoc.fr/item/AIF_1997__47_2_485_0} }
Kahane, Jean-Pierre; Queffélec, Hervé. Ordre, convergence et sommabilité de produits de séries de Dirichlet. Annales de l'Institut Fourier, Tome 47 (1997) pp. 485-529. doi : 10.5802/aif.1571. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1997__47_2_485_0/
[B1] On the convergence problem for Dirichlet series, Dan. Mat. Fys. Medd., 25, 6 (1946), 1-18 (I A 17 in Collected Math. Works).
,[B2] On multiplication of summable Dirichlet series, Mat. Tidsskr., (1950), 71-75 (I A 19 in Collected Math. Works). | MR 12,404d | Zbl 0039.08203
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,[Bo] Utilisation des nombres réels en topologie générale, Chapitre 9, Paris, Hermann, 1958. | Zbl 0085.37103
,[DT] Un théorème sur les séries de Dirichlet, Monatshefte Mat., 113 (1992), 99-105. | MR 93d:11087 | Zbl 0765.30002
& ,[HR] The general theory of Dirichlet series, Cambridge tracts in Math. and Math. Physics, 18 (1915). | JFM 45.0387.03
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,[K2] Sur trois notes de Stieltjes relatives aux séries de Dirichlet. Numéro spécial “100 ans après Stieltjes” des Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, (1996), 33-56. | Numdam | MR 99f:11106 | Zbl 0877.01023
,[L1] Über die Multiplication Dirichlet'schen Reihen, Rendiconti di Palermo, 24 (1907), 81-160. | JFM 38.0322.01
,[L2] Über das Konvergenzproblem der Dirichlet'schen Reihen, Rendiconti di Palermo, 28 (1909), 113-151. | JFM 40.0311.03
,[Q] Propriétés presque-sûres et quasi-sûres des séries de Dirichlet et des produits d'Euler, Canad. J. Math., 32 (1980), 531-558. | MR 82c:10050 | Zbl 0475.30006
,[Ri] Sur l'équivalence de certaines méthodes de sommation, Proc. London Math. Soc., (2) 22 (1924), 412-419. | JFM 50.0154.01
,[Ru] Real and complex analysis, 3rd ed. Mc-Graw Hill, 1987, p. 118. | MR 88k:00002 | Zbl 0925.00005
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